Aufgabe 1286
AHS - 1_286 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Temperaturverlauf
Aus dem nachstehend dargestellten Graphen der Funktion T lässt sich der Temperaturverlauf in °C in einem Reagenzglas während eines chemischen Versuchs für die ersten 7 Minuten ablesen.
- Aussage 1: Im Intervall [3; 6] ist die mittlere Änderungsrate annähernd 0 °C/min.
- Aussage 2: Im Intervall [0,5; 1,5] ist der Differenzenquotient größer als 25 °C/min.
- Aussage 3: Im Intervall [0; 2] gibt es einen Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate 0 °C/min beträgt.
- Aussage 4: Der Differenzialquotient zum Zeitpunkt t = 3 ist annähernd –10 °C/min.
- Aussage 5: Der Differenzenquotient ist im Intervall [2; t] mit 2 < t < 6 immer kleiner als 0 °C/min.
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die auf den Temperaturverlauf zutreffende(n) Aussage(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate: \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)
- Differentialquotient oder momentane Änderungsrate oder Steigung der Tangente: \(y'\left( t \right) = \dfrac{{dy}}{{dt}} = k\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}} = \dfrac{{20 - 20}}{{6 - 3}} = 0\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}} = \dfrac{{32 - 24}}{{1,5 - 0,5}} = \dfrac{8}{1} < 25\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil: momentane Änderungsrate =0 bedeutet: 1. Ableitung = 0 → k=0 → Tangente an den Graph der Funktion ist horizontal. Das ist im Hochpunkt, der im Intervall [0; 2] liegt, der Fall
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil für die Steigung der Tangente im Punkt 3 wie folgt gilt: \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{ - 10}}{1} = - 10\dfrac{{^\circ C}}{{\min }}\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil gemäß \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - 28}}{{{t_2} - 2}}\)
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der Nenner ist für alle 2 < t2 < 6 bzw. t2-t1>0 bzw. t2>t1 immer positiv
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der Zähler ist wegen \(y\left( {{t_2}} \right) < 28\) immer negativ
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⇒ der gesamte Bruch ist somit immer negativ bzw. kleiner als 0
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Alternativ kann man sich eine Sekante vorstellen, deren 1. Punkt \(\left( {2\left| {28} \right.} \right)\) fix ist und deren 2. Punkt sich vom 1. Punkt zunehmend entfernt, bis er an der Endstelle \(\left( {6\left| {20} \right.} \right)\) angekommen ist. Diese Sekante hat zu jedem Zeitpunkt eine negative Steigung
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.