Aufgabe 1163
AHS - 1_163 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsregel
Für welche der folgenden Funktionen gilt der Zusammenhang \(f'\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = k \cdot x\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = {x^{2 \cdot k}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = k \cdot \sin \left( x \right)\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = \dfrac{k}{x}\)
- Aussage 6: \(f\left( x \right) = k \cdot \sqrt x\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Lineare Funktion differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = kx + d \cr & f'\left( x \right) = k \cr}\)
Potenzen differenzieren
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {x^n} \cr & y' = f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Exponentialfunktionen differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)
Reziprokenregel
\(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Wurzeln differenzieren
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & y' = f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr}\)
Lösungsweg
Die 1. Ableitung einer der 6 gegebenen Funktionen soll das k-fache der Funktion selbst betragen! Dh wir bilden die 1. Ableitung von den 6 gegebenen Funktionen und überprüfen jeweils, ob diese Forderung erfüllt ist.
- Aussage 1: Falsch, weil \(f\left( x \right) = k \cdot x \Rightarrow f'\left( x \right) = k \ne k \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 2: Falsch, weil \(f\left( x \right) = {x^{2 \cdot k}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 2k \cdot {x^{2k - 1}} \ne k \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 3: Falsch, weil \(f\left( x \right) = k \cdot \sin \left( x \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = k \cdot \cos \left( x \right) \ne k \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 4: Richtig, weil \(f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = k \cdot {e^{k \cdot x}} = k \cdot f\left( x \right) \Rightarrow {\text{gesuchte Lösung}}\)
- Aussage 5: Falsch, weil \(f\left( x \right) = \dfrac{k}{x} \Rightarrow f'\left( x \right) = - k \cdot \dfrac{1}{{{x^2}}} \ne k \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 6: Falsch, weil \(f\left( x \right) = k \cdot \sqrt x = k \cdot {x^{\dfrac{1}{2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = k \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {x^{\dfrac{1}{2} - 1}} = \dfrac{k}{2} \cdot {x^{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{k}{{2 \cdot {x^{\dfrac{1}{2}}}}} = \dfrac{k}{{2 \cdot \sqrt x }} \ne k \cdot f\left( x \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn nur eine Funktionsgleichung angekreuzt ist und das Kreuz richtig gesetzt ist.