Aufgabe 11261
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmte Integrale
Die vier unten stehenden Abbildungen zeigen jeweils den Graphen der quadratischen Funktion f. Der Graph von f schneidet die x-Achse an den Stellen x = –1 und x = 2. Die lokale Minimumstelle von f liegt bei x = 0,5.
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den grau markierten Flächen in den vier Abbildungen jeweils den entsprechenden Ausdruck zur Berechnung ihres Flächeninhalts aus A bis F zu.
[0 / ½ / 1 P.]
Abbildung 1:
Abbildung fehlt
Abbildung 2:
Abbildung fehlt
Abbildung 3:
Abbildung fehlt
Abbildung 4:
Abbildung fehlt
- Ausdruck A: \( - \int\limits_{0,5}^2 {f\left( x \right)} \,dx\)
- Ausdruck B: \( - \int\limits_{0,5}^2 {f\left( x \right)\,dx + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)} } \,dx\)
- Ausdruck C: \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)\,dx + \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)\,dx} } \)
- Ausdruck D: \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)\,dx - \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)\,dx} } \)
- Ausdruck E: \(\int\limits_{ - 2}^{0,5} {f\left( x \right)} \,dx\)
- Ausdruck F: \( - 2 \cdot \int\limits_{0,5}^2 {f\left( x \right)} \,dx\)
Lösungsweg
Zunächst erinnern wir uns was wir über die Orientierung von Flächen wissen:
- Liegt die Fläche, die dem bestimmten Integral entspricht, oberhalb der x-Achse, so liefert das integral einen positiven Wert. Man spricht von einer positiv orientierten Fläche.
- Liegt die Fläche, die dem bestimmten Integral entspricht, unterhalb der x-Achse, so liefert das Integral einen negativen Wert. Man spricht dann von einer negativ orientierten Fläche.
- Will man die Summenfläche aus einer positiv und einer negativ orientierten Fläche berechnen, so muss man den negativen Wert der negativ orientierten Fläche durch ein Minus vor dem Integral umkehren.
- In der 1. Abbildung liegen die grau markierten Flächen zwischen
- 0,5 und 2 unterhalb der x-Achse, dh vor dem Integral muss ein Minus stehen
- 2 und 3 oberhalb der x-Achse, dh vor dem Integral muss ein Plus stehen
- \( - \int\limits_{0,5}^2 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)} \,dx\)
- Das entspricht dem Ausdruck B
- In der 2. Abbildung liegen die grau markierten Flächen zwischen
- -2 und -1 oberhalb der x-Achse, dh vor dem Integral muss ein Plus stehen
- -1 und 2 unterhalb der x-Achse, dh vor dem Integral muss ein Minus stehen
- \( - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,dx\)
- Das entspricht dem Ausdruck D
- In der 3. Abbildung liegt die grau markierte Fläche zwischen
- -1 und 2 unterhalb der x-Achse, dh vor dem Integral muss ein Minus stehen
- \( - \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,dx\)
- das entspricht zunächst keinem der gegebenen Ausdrücke.
- Uns sticht der Ausdruck F ins Auge, zumal er die negativ orientierte Fläche zwischen 0,5 und 2 doppelt rechnet. Wir sehen folgenden Zusammenhang:
- \( - \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,dx = - 2 \cdot \int\limits_{0,5}^2 {f\left( x \right)} \,dx\)
- Das entspricht dem Ausdruck F
- In der 4. Abbildung liegt die grau markierte Fläche zwischen
- 0,5 und 2 unterhalb der x-Achse, dh vor dem Integral muss ein Minus stehen
- \( - \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,dx\)
- Das entspricht dem Ausdruck A
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Abbildung 1: Ausdruck B
- Abbildung 2: Ausdruck D
- Abbildung 3: Ausdruck F
- Abbildung 4: Ausdruck A
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.