Aufgabe 11259
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Überholvorgang
Die Beschleunigung eines bestimmten Fahrzeugs während eines Überholvorgangs wird durch die Funktion a beschrieben. Es gilt:
\(a\left( t \right) = - {t^3} + 3 \cdot {t^2}{\text{ mit 0}} \leqslant {\text{t}} \leqslant {\text{3}}\)
- t ... Zeit ab Beginn des Überholvorgangs in s
- a(t) ... Beschleunigung des Fahrzeugs zur Zeit t in m/s2
Die Funktion v ordnet dabei jeder Zeit t die Geschwindigkeit des Fahrzeugs v(t) (in m/s) zu. Zu Beginn des Überholvorgangs hat das Fahrzeug die Geschwindigkeit v(0) = 20 m/s.
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von v auf.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Die Beschleunigungs-Zeit-Funktion lautet:
\(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} \,\,dt\)
Somit erhalten wir mit Hilfe der Anfangsbedingung v(0)=20:
\(\eqalign{ & a\left( t \right) = - {t^3} + 3 \cdot {t^2} \cr & v\left( t \right) = - \int {{t^3}\,\,dt + 3 \cdot \int {{t^2}\,\,dt = - \dfrac{1}{4}} } \cdot {t^4} + 3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot {t^3} + C \cr & v\left( t \right) = - \dfrac{{{t^4}}}{4} + {t^3} + C \cr & \cr & v\left( {t = 0} \right) = 20 \cr & v\left( {t00} \right) = - \dfrac{{{0^4}}}{4} + {0^3} + C = 20 \to C = 20 \cr & \cr & v\left( t \right) = - \dfrac{{{t^4}}}{4} + {t^3} + 20 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(v\left( t \right) = - \dfrac{{{t^4}}}{4} + {t^3} + 20\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von v.