Aufgabe 1093
AHS - 1_086 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Freier Fall
Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Weg-Funktion s(t) durch \(s\left( t \right) = \dfrac{g}{2} \cdot {t^2}\) gegeben. Dabei ist g ≈ 10 m/s2 die Fallbeschleunigung.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit in m/s im Zeitintervall [2; 4] Sekunden!
Lösungsweg
Die mittlere Änderungsrate berechnet man mit Hilfe vom Differenzenquotient. Der Differenzenquotient (die Steigung der Sekante, die mittlere Änderung) beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe zur Veränderung einer unabhängigen Größe.
- Die abhängige Größe - sie kommt in den Zähler - ist der zurückgelegte Weg
- Die unabhängige Größe - sie kommt in den Nenner - ist die Fallzeit
Wir schreiben den Differenzenquotient wie folgt an:
\(\overline v = \dfrac{{s\left( 4 \right) - s\left( 2 \right)}}{{4 - 2}}\)
Nun ermitteln wir durch Einsetzen in die gegebene Weg-Zeit-Funktion und gemäß g=10 die beiden Funktionswerte im Zähler obiger Gleichung wie folgt:
\(\begin{array}{l} s\left( t \right) = \dfrac{{10}}{2} \cdot {t^2}\\ s\left( 4 \right) = \dfrac{{10}}{2} \cdot {4^2} = 5 \cdot 16 = 80\\ s\left( 2 \right) = \dfrac{{10}}{2} \cdot {2^2} = 5 \cdot 4 = 20 \end{array}\)
Somit können wir den Differenzenquotienten wie folgt ermitteln:
\(\overline v = \dfrac{{80 - 20}}{2} = 30\)
Die Einheit vom Differenzenquotienten kennen wir aus der Angebe zu m/s.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overline v = 30\dfrac{m}{s}\)
Lösungsschlüssel:
Es muss ein Lösungsweg erkennbar sein. Die Angabe der korrekten Maßzahl ohne entsprechende Einheit ist ausreichend.