Aufgabe 1712
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Darstellung im Koordinatensystem
Im nachstehenden Koordinatensystem sind der Vektor \(\overrightarrow v \) sowie die Punkte A und B dargestellt. Die Komponenten des dargestellten Vektors \(\overrightarrow v \)und die Koordinaten der beiden Punkte A und B sind ganzzahlig.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Wert des Parameters t so, dass die Gleichung \(B = A + t \cdot \overrightarrow v \)erfüllt ist.
- t = ___
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Der gesuchte Parameter t gibt an, wie oft man den Vektor \(\overrightarrow v \) vom Punkt A aus einzeichnen muss, um zum Punkt B zu gelangen. Die Aufgabe kann überhaupt nur darum gelöst werden, weil \(\overrightarrow {AB} \parallel \overrightarrow v \) ist.
- Der Grafik entnehmen wir, dass der gegebene Vektor \(\overrightarrow v \) in x-Richtung +2 Einheiten (Kästchen) und in y-Richtung -1 Einheit lang ist.
Der Grafik entnehmen wir, dass der gesuchte Vektor \(\overrightarrow {AB} \) in x-Richtung -10 Einheiten (Kästchen) und in y-Richtung +5 Einheit lang ist.
Wir können somit folgende Gleichung formulieren und daraus t im Kopf berechnen.
\(\begin{array}{l}
B = A + t \cdot \overrightarrow v \\
B = A + \overrightarrow {AB} \\
t \cdot \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} \\
t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
{ - 1}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 10}\\
5
\end{array}} \right) \to t = - 5
\end{array}\)
Wichtig ist das Minus-Zeichen, denn die beiden Vektoren sind entgegengesetzt orientiert, wie die nachfolgende Illustration veranschaulicht:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
t=5
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.