Aufgabe 1711
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lineares Gleichungssystem
Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem in den Variablen x1 und x2. Es gilt: a, b ∈ ℝ.
\(\begin{array}{l} 3 \cdot {x_1} - 4 \cdot {x_2} = a\\ b \cdot {x_1} + {x_2} = a \end{array}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b so, dass für die Lösungsmenge des Gleichungssystems \(L = \left\{ {\left( {2; - 2} \right)} \right\}\) ist!
Lösungsweg
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Variablen x1 und x2. Wenn wir die Lösungen des Gleichungssystems kennen, kennen wir also diejenigen Werte die x1 und x2 für die Lösung einnehmen.
\(L = \left\{ {\left( {2; - 2} \right)} \right\}\) bedeutet, dass x1=2 und x2=-2 die beiden Lösung des Gleichungssystems sind.
Damit wir die Koeffizienten a und b bestimmen können, setzen wir die uns bekannte Lösung in das Gleichungssystem ein und erhalten 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:
In der 1. Gleichung gibt es nur die eine Unbekannte „a“, während es in der 2. Gleichung zwei Unbekannte „a“ und „b“ gibt. Wir fangen daher mit der 1. Gleichung an und setzen dann den Wert von „a“ in die 2. Gleichung ein:
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1:}}3 \cdot {x_1} - 4 \cdot {x_2} = a \cr & {\text{Gl}}{\text{.2:}}b \cdot {x_1} + {x_2} = a \cr & \cr & {x_1} = 2;\,\,\,\,{x_2} = - 2 \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1:}}3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = a \cr & a = 6 + 8 = 14 \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.2:}}b \cdot 2 + \left( { - 2} \right) = 14 \cr & 2 \cdot b - 2 = 14\,\,\,\,\,\left| { + 2\,\,\,:2} \right. \cr & b = \dfrac{{14 + 2}}{2} = \dfrac{{16}}{2} = 8 \cr} \)
Die gesuchten Koeffizienten lauten:
\(\begin{array}{l} a = 14\\ b = 8 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} a = 14\\ b = 8 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.