Aufgabe 1614
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zusammenhang zweier Variablen
Für \(a,b \in {\Bbb R}\) gilt der Zusammenhang \(a \cdot b = 1\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Zwei der fünf nachstehenden Aussagen treffen in jedem Fall zu. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: Wenn a kleiner als null ist, dann ist auch b kleiner als null.
- Aussage 2: Die Vorzeichen von a und b können unterschiedlich sein.
- Aussage 3: Für jedes \(n \in {\Bbb N}\) gilt: \(\left( {a - n} \right) \cdot \left( {b + n} \right) = 1\)
- Aussage 4: Für jedes \(n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\}\) gilt: \(\left( {a \cdot n} \right) \cdot \left( {\dfrac{b}{n}} \right) = 1\)
- Aussage 5: \(a \ne b\)
Lösungsweg
Wir überprüfen jede der 5 Aussagen wie folgt:
- Aussage 1: Richtig, weil „kleiner als null“ bedeutet „negativ“, daher muss auch b „kleiner als null“ sein, denn das Produkt zweier negativen Faktoren ist eine positive Zahl
- Aussage 2: Falsch, weil die beide Vorzeichen gleich (entweder positiv oder negativ) sein müssen, damit das Produkt jedenfalls positiv ist.
- Aussage 3: Falsch, weil der ausmultiplizierte Ausdruck \(ab + an - bn - {n^2}\) jeden beliebigen Wert annehmen kann.
- Aussage 4: Richtig, weil der ausmultiplizierte Ausdruck \(\left( {a \cdot n} \right) \cdot \left( {\dfrac{b}{n}} \right) = \dfrac{{abn}}{n} = a \cdot b = 1\) genau der gegebenen Gleichung entspricht.
- Aussage 5: Falsch, weil eine simple Umformung der Angabe zeigt, dass \(a \ne b\) nicht ausreicht, sondern dass exakt \(a = \dfrac{1}{b}\) gelten muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.