Aufgabe 1538
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Trapez
Von einem Trapez ABCD sind die Koordinaten der Eckpunkte gegeben: A= (2|–6); B= (10|–2); C= (9|2); D= (3|y). Die Seiten a= AB und c= CD sind zueinander parallel.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert der Koordinate y des Punkts D an!
Lösungsweg
Nachdem die Seiten AB und CD zueinander parallel sind, haben die Vektoren \(\overrightarrow {AB} \) und \(\overrightarrow {DC} \) die gleiche Orientierung. Das heißt, der Vektor \(\overrightarrow {AB}\) lässt sich als ein Vielfaches des Vektors \(\overrightarrow {DC} \) angeben. Nachdem der Vektor \(\overrightarrow {CD}\) lediglich in entgegengesetzte Richtung verläuft (\(\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {DC}\)), kann \(\overrightarrow {AB}\) auch als negatives Vielfaches von \(\overrightarrow {CD}\)dargestellt werden. Wir erhalten so ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten, welches gelöst werden muss.
Als Rechenweg bietet sich wie folgt an:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {CD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = t \cdot \overrightarrow {CD} \\
\left( \begin{array}{l}
8\\
4
\end{array} \right) = t \cdot \left( \begin{array}{l}
- 6\\
y - 2
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6 \cdot t}\\
{\left( {y - 2} \right) \cdot t}
\end{array}} \right)
\end{array}\)
Wir haben 2 Unbekannte: t und y und wir haben 2 Gleichungen:
Die Variable t können wir mittels der Gleichung die in x-Richtung gilt, wie folgt ausrechnen:
\(\begin{array}{l}
8 = - 6 \cdot t\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 6} \right)} \right.\\
\Rightarrow t = \dfrac{8}{{ - 6}} = - \dfrac{4}{3}\\
t = - \dfrac{4}{3}
\end{array}\)
Die Variable y können wir mittels der Gleichung die in y-Richtung gilt ausrechnen, wobei wir \(t = - \dfrac{4}{3}\) einsetzen können:
\(\begin{array}{l}
4 = t \cdot \left( {y - 2} \right)\\
4 = \left( { - \dfrac{4}{3}} \right) \cdot (y - 2)\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - \dfrac{3}{4}} \right)} \right.\\
4 \cdot \dfrac{{ - 3}}{4} = 1 \cdot \left( {y - 2} \right)\\
- \dfrac{{12}}{4} = y - 2\\
- 3 = y - 2\,\,\,\,\,\left| { + 2} \right.\\
- 1 = y\\
y = - 1
\end{array}\)
→ Die fehlende Koordinate y vom Punkt D lautet: \(y = - 1\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die fehlende Koordinate y vom Punkt D lautet: \(y = - 1\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.