Aufgabe 1467
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichungssystem
Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y \in {\Bbb R}\)
\(\eqalign{ & 2x + 3y = 7 \cr & 3x + by = c \cr & {\text{mit }}b,c \in {\Bbb R} \cr} \)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie diejenigen Werte für b und c, für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!
Lösungsweg
Damit das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, müssen die beiden Geraden, die den beiden gegebenen Gleichungen entsprechen, dasselbe k und dasselbe d haben. D.h. die beiden Gleichungen müssen Vielfache von einander sein.
\(\eqalign{ & 2x + 3y = 7 \cr & 3x + by = c \cr}\)
Am Koeffizienten vor der Variable x in beiden Gleichungen erkennen wir, dass wir die obere Gleichung mit 1,5 multiplizieren müssen, um auf die untere Gleichung zu kommen:
\(\eqalign{ & 2x + 3y = 7\,\,\,\,\,\left| { \cdot 1,5} \right. \cr & 3x + 4,5x = 10,5 \cr} \)
Durch einen simplen Koeffizientenvergleich erhalten wir als Lösung die gesuchten Werte für b und c:
\(\eqalign{ & 3x + 4,5x = 10,5 \cr & 3x + by = c \cr} \)
somit:
\(\eqalign{ & b = 4,5 \cr & c = 10,5 \cr}\)
Ein alternativer Lösungsweg
Zwei Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte, wenn sie ident sind (d.h. deckungsgleich). Das bedeutet, dass die Gleichungen die selbe Steigung k und den selben y-Achsenabschnitt d haben müssen.
Wir formen die Gleichungen
\(\eqalign{ & 2x + 3y = 7 \cr & 3x + by = c \cr} \)
nach y um und erhalten so je eine Geradengleichung y=kx+d.
\(\eqalign{ & y = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{7}{3}\, \cr & y = - \dfrac{3}{b}x + \dfrac{c}{b}\, \cr} \)
Idente Geraden haben gleiche Steigung k. Durch einen simplen Koeffizientenvergleich erhalten wir für b:
\(\eqalign{ & - \dfrac{2}{3} = - \dfrac{3}{b}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 3 \cdot b} \right. \cr & - 2b = \, - 9\,\,\,\,\,\left| {:( - 2)} \right. \cr & b = \dfrac{9}{2} =4,5\cr}\)
Idente Geraden haben gleichen y-Achsenabschnitt d. Durch einen simplen Koeffizientenvergleich erhalten wir für c:
\(\eqalign{ & \dfrac{7}{3} = \dfrac{c}{b}\,\,\,\,\left| { \cdot 3 \cdot b} \right. \cr & 7 \cdot b = \,3c\,\,\,\,\,\left| {b = \dfrac{9}{2}} \right. \cr & 3c = 7 \cdot \dfrac{9}{2}\,\,\,\,\left| {:3} \right. \cr & c = \frac{{7 \cdot 3}}{2} = \frac{{21}}{2} =10,5 \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & b = 4,5 \cr & c = 10,5 \cr}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Werte von b und c. Andere korrekte Schreibweisen der Ergebnisse sind ebenfalls als richtig zu werten.