Aufgabe 1420
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fahrenheit und Celsius
Während man in Europa die Temperatur in Grad Celsius (°C) angibt, verwendet man in den USA die Einheit Grad Fahrenheit (°F). Zwischen der Temperatur TF in °F und der Temperatur TC in °C besteht ein linearer Zusammenhang. Für die Umrechnung von °F in °C gelten folgende Regeln:
- 32 °F entsprechen 0 °C.
- Eine Temperaturzunahme um 1°F entspricht einer Zunahme der Temperatur um 5/9 °C
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen der Temperatur TF (°F, Grad Fahrenheit) und der Temperatur TC (°C, Grad Celsius) beschreibt!
Lösungsweg
- Laut Angabe besteht ein linearer Zusammenhang zwischen den beiden Temperaturskalen. "Linearer Zusammenhang" assoziieren wir immer mit "Gleichung einer Geraden" bzw. mit \(y = k \cdot x + d\)
- Die gesuchte Gleichung soll den Zusammenhang zwischen der unabhängigen Größe TF und der abhängigen Größe TC darstellen. Daher müssen wir TF = x und TC = y setzen.
- d ist immer der y-Wert an der Stelle x=0 (der sogenannte Ordinatenabschnitt)
- k ist immer der Wert, um den der y-Wert zunimmt (k positiv) oder abnimmt (k negativ), wenn sich der x-Wert um 1 vergrößert.
Für die Aufgabenstellung bedeutet das:
- 32 °F entsprechen \(0^\circ C \to {P_1}\left( {32\left| 0 \right.} \right)\)
- Temperaturzunahme um 1 °F entspricht einer Zunahme der Temperatur um 5/9 °C \( \to \left( {32 + 1\left| {0 + \dfrac{5}{9}} \right.} \right) \to {P_2}\left( {33\left| {\dfrac{5}{9}} \right.} \right)\)
Wir haben somit 2 Punkte der Geraden \(\left( {32\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}\left( {33\left| {\dfrac{5}{9}} \right.} \right)\), die wir jeweils in die Gleichung der Geraden einsetzen und daraus die 2 Unbekannten k und d wie folgt errechnen können:
\(\begin{array}{*{20}{c}} y& = &{k \cdot x}& + &d\\ 0& = &{k \cdot 32}& + &d\\ {\dfrac{5}{9}}& = &{k \cdot 33}& + &d \end{array}\)
Obere Gleichung minus unterer Gleichung eliminiert die Variable d, sodass man k ausrechnen kann:
\(\begin{array}{l} 0 - \dfrac{5}{9} = 32 \cdot k - 33 \cdot k\\ - \dfrac{5}{9} = - k\\ k = \dfrac{5}{9} \end{array}\)
Wir setzen k in die 1. Gleichung ein (sie ist die einfachere Gleichung):
\(\begin{array}{l} 0 = \dfrac{5}{9} \cdot 32 + d\\ d = - 32 \cdot \dfrac{5}{9} \end{array}\)
somit:
\({T_C} = \dfrac{5}{9} \cdot {T_F} - 32 \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{5}{9} \cdot \left( {{T_F} - 32} \right)\)
Nachfolgend eine Veranschaulichung vom Zusammenhang
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({T_C} = \dfrac{5}{9} \cdot {T_F} - 32 \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{5}{9} \cdot \left( {{T_F} - 32} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.