Aufgabe 1394
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lineares Gleichungssystem
Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem über der Grundmenge \(G = {\Bbb N} \times {\Bbb N}\):
\(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{2x}& + &y& = &6\\ {II:}&{3x}& - &y& = &{ - 3} \end{array}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge G an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Beim Additionsverfahren (Verfahren gleicher Koeffizienten) werden im 1. Schritt durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden im 2. Schritt die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat.
Wie wir sehen, können wir uns für die Variable „y“ den 1. Schritt vom oben beschriebenen Additionsverfahren ersparen, denn „y“ hat in den beiden Gleichungen einmal +1 und einmal -1 als Koeffizient. Wir müssen die beiden Gleichungen nur mehr addieren und „y“ fällt weg, womit „x“ als einzige Variable über bleibt.
\(\begin{array}{*{20}{c}} {2x}& + &y& = &6\\ {3x}& - &y& = &{ - 3}\\ \hline {5x}&{}&{}& = &3 \end{array}\)
somit:
\(x = \dfrac{3}{5}\)
Wir setzen x in die 1. Gleichung ein:
\(\begin{array}{l} 2 \cdot \dfrac{3}{5} + y = 6\\ \dfrac{6}{5} + y = 6\\ y = \dfrac{{30}}{5} - \dfrac{6}{5} = \dfrac{{24}}{5} \end{array}\)
Da \(G = {\Bbb N} \times {\Bbb N}\) und \(x = \dfrac{3}{5} \notin {\Bbb N}\) sowie \(y = \dfrac{{24}}{5} \notin {\Bbb N}\)
\(L = \left\{ {\dfrac{3}{5}\left| {\dfrac{{24}}{5}} \right.} \right\} \notin {\Bbb N} \times {\Bbb N} \Rightarrow L = \left\{ {} \right\}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(L = \left\{ {} \right\}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Lösungsmenge. Die Lösungsmenge kann sowohl verbal formuliert als auch symbolisch angegeben sein. Die Werte für die beiden Variablen müssen nicht angegeben sein.