Aufgabe 1203
AHS - 1_203 & Lehrstoff: AG 2.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichungssystem ohne Lösung
Gegeben ist ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a und b:
\(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{5 \cdot a}& - &{4 \cdot b}& = &9\\ {II:}&{c \cdot a}& + &{8 \cdot b}& = &d \end{array}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie alle Werte der Parameter c und d so, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten entsprechen grafisch 2 Geraden in einer Ebene. Wir müssten daher 3 Fälle unterscheiden, wie die Geraden zu einander liegen, beschränken uns hier aber auf den Fall "keine Lösung"
\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_i} = - \frac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\\ {d_i} = \frac{{{c_i}}}{{{b_i}}} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} y = {k_1}x + {d_1}\\ y = {k_2}x + {d_2} \end{array}\) | ||
Anzahl der Lösungen | geometrische Interpretation | implizite Darstellung | Umrechnung | explizite Darstellung |
keine Lösung | 2 parallele Gerade | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_1} = {k_2}\\ {d_1} \ne {d_2} \end{array}\) |
Lösungsweg
Wir müssen c und d zunächst so bestimmen, dass die eine Gleichung ein Vielfaches der anderen Gleichung ist und dann genau jedes (einzige) d ausschließen, welches aus den parallelen Geraden - die nicht erwünschten deckungsgleichen Geraden - macht.
Gemäß Angabe gilt:
\(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{5 \cdot a}& - &{4 \cdot b}& = &9\\ {II:}&{c \cdot a}& + &{8 \cdot b}& = &d \end{array}\)
Wir multiplizieren die ober Gleichung mit 2, damit wir dann das Additionsverfahren anwenden können
\(\begin{array}{*{20}{c}} {5a}& - &{4b}& = &9&{\left| { \cdot 2} \right.}\\ {ca}& + &{8b}& = &d&{} \end{array}\)
Somit:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {10a}& - &{8b}& = &{18}\\ {ca}& + &{8b}& = &d \end{array}\)
Damit das Gleichungssystem keine Lösung hat, müssen die entsprechenden Geraden parallel sein, also 1) gleiches k aber 2) ungleiches d haben.
1) gleiche Steigung:
Erinnern wir uns an die Definition der Steigung: \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\Delta b}}{{\Delta a}}\)
Wir wollen gleiches k für beide Gleichungen / Geraden, somit: \(k = \dfrac{{ - 8}}{{10}} = \dfrac{8}{c} \Rightarrow c = - 10\)
2) ungleiches d:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {10a}& - &{8b}& = &{18}\\ { - 10a}& + &{8b}& = &d\\ \hline 0& + &0& = &{18 + d} \end{array}\)
somit:
\(\begin{array}{l} 0 = 18 + d\\ d = - 18 \end{array}\)
Nun aber aufgepasst: wenn bei gleicher Steigung c=-10 dann noch d=-18 beträgt, dann sind die beiden Geraden deckungsgleich , was wir aber nicht wollen! Daher müssen wir d=-18 aus der Lösung ausschließen, dann sind die beiden Geraden eben nicht deckungsgleich, aber auf Grund von der gleichen Steigung c=-10 sind sie parallel. Oder anders formuliert, das Gleichungssystem hat für paralelle Gerade genau keine Lösung.
\(\eqalign{ & c = - 10 \cr & d \in {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 18} \right\} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & c = - 10 \cr & d \in {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 18} \right\} \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn die richtige Lösung beider Parameter angegeben ist.