Aufgabe 1201
AHS - 1_201 & Lehrstoff: AG 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbebenen
Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen besitzen unendlich viele Losungspaare, die geometrisch interpretiert Punkte einer offenen oder geschlossenen Halbebene sind. In den nachstehenden Grafiken ist jeweils ein Bereich (eine Halbebene) farblich markiert.
A | \(y > 2\) |
B | \(2y - 3x < 0\) |
C | \(3x + 2y \ge 4\) |
D | \(y \le \frac{2}{3} \cdot x + 2\) |
E | \(x > 2\) |
F | \(3y - 2x < 6\) |
- Lineare Ungleichung 1:
- Lineare Ungleichung 2:
- Lineare Ungleichung 3:
- Lineare Ungleichung 4:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den einzelnen Bereichen die jeweilige lineare Ungleichung (aus A bis F) zu, die die Halbebene im Koordinatensystem richtig beschreibt!
Deine Antwort | |
Lineare Ungleichung 1 | |
Lineare Ungleichung 3 | |
Lineare Ungleichung 3 | |
Lineare Ungleichung 4 |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir müssen die gegebenen Ungleichungen so umformen, dass wir die zugehörigen Randgeraden in der Form \(y = k \cdot x + d\) erhalten.
Operator „ < “ oder „ > “: Randgerade ist strichliert: \(g \notin L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind nicht Teil der Lösung. Man spricht von einer offenen Halbebene
Operator „ \( \le\) “ oder „ \( \ge\) “ Randgerade ist durchgezogen: \(g \in L\)
Die Punkte auf der Randgeraden sind Teil der Lösung. Man spricht von einer abgeschlossenen Halbebene
Dann wählen wir einen belibigen Punkt nahe aber nicht auf der Randgerade und prüfen ob er die Ungleichung erfüllt und daher in der Halbebene (färbig markiert) liegt.
Lösungsweg
- Analysieren wir A im Hinblick auf die Randgerade: \(y > 2\)
- Die Randgerade hätte die Gleichung \(y = 2\) .
- So eine Randgerade ist unter I … IV nicht enthalten.
- Analysieren wir B im Hinblick auf die Randgerade: \(2y - 3x < 0 \Rightarrow 2y < 3x \Rightarrow y < \frac{3}{2}x\)
- Für Randgerade gilt: \(k = \dfrac{3}{2};\,\,\,\,\,d = 0\) zudem muss sie strichliert sein.
- Die Ungleichung \(y < \dfrac{3}{2}x\) ist etwa für den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\) , der im färbigen Bereich liegt, erfüllt.
- Dies entspricht der Lösungsoption IV.
- Analysieren wir C im Hinblick auf die Randgerade: \(3x + 2y \ge 4 \Rightarrow 2y \ge - 3x + 4 \Rightarrow y \ge - \dfrac{3}{2}x + 2\)
- Für die Randgerade gilt: \(k = - \dfrac{3}{2};\,\,\,\,\,d = 2\) zudem muss sie durchgezogen sein.
- Die Ungleichung \(y \ge - \dfrac{3}{2}x + 2\) ist etwa für den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\) erfüllt
- Dies entspricht der Lösungsoption I.
- Analysieren wir D im Hinblick auf die Randgerade: \(y \le \dfrac{2}{3} \cdot x + 2\)
- Für die Randgerade gilt: \(k = \dfrac{2}{3};\,\,\,\,\,d = 2\) zudem muss sie durchgezogen sein.
- So eine Randgerade ist unter I … IV nicht enthalten.
- Analysieren wir E im Hinblick auf die Randgerade \(x > 2\)
- Für die Randgerade gilt: \(x = 2\) zudem muss sie strichliert sein
- Die Ungleichung \(x > 2\) ist etwa nicht für den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\) hingeben aber für den Punkt \(\left( {3\left| 1 \right.} \right)\) erfüllt.
- Dies entspricht der Lösungsoption II.
- Analysieren wir F im Hinblick auf die Randgerade \(3y - 2x < 6 \Rightarrow 3y < 2x + 6 \Rightarrow y < \dfrac{2}{3}x + 2\)
- Für die Randgerade gilt: \(k = \dfrac{2}{3};\,\,\,\,\,d = 2\) zudem muss sie strichliert sein
- Die Ungleichung \(y < \dfrac{2}{3}x + 2\) ist etwa für den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\) erfüllt.
- Dies entspricht der Lösungsoption III.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- I + C
- II + E
- III + F
- IV + B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.