Aufgabe 11294
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Apfelsaft und Orangensaft
Bei einer Veranstaltung werden als Getränke ausschließlich Apfelsaft und Orangensaft in Bechern zum Verkauf angeboten. Insgesamt werden bei dieser Veranstaltung 375 Becher verkauft, davon a Becher Apfelsaft zu je € 0,80 und b Becher Orangensaft zu je € 1,00. Der dabei erzielte Verkaufserlös beträgt € 339,00.
Aufgabenstellung [0 / 0,5 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von a und b.
Lösungsweg
Der Angabe entnehmen wir:
- a ... Anzahl der Becher mit Apfelsaft, wobei jeder Becher 0,80 € erlöst
- b ... Anzahl der Becher mit Orangensaft, wobei jeder Becher 1,00 € erlöst
- Anzahl der Becher in Summe 375 Stk.
- Verkaufserlös für beide Säfte zusammen 339,00 €
- Der Erlös bzw. der Umsatz errechnet sich als Produkt vom Verkaufspreis (0,8E bzw. 1,0€) mal der Anzahl der verkauften Mengeneinheiten (a bzw. b).
Damit wir die 2 Unbekannten bestimmen können, benötigen wir 2 Gleichungen:
- Anzahl der Becher in Stk: \(a + b = 375\)
- Erlös in €: \(0,8 \cdot a + 1,0 \cdot b = 339\)
→ Die gesuchten Gleichungen lauten wie folgt:
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1: }}a + b = 375 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}0,8 \cdot a + 1,0 \cdot b = 339 \cr} \)
Es ist nicht erforderlich a und b zu berechnen!!
Es würde sich die Einsetzungsmethode wie folgt anbieten:
\(\eqalign{ & a + b = 375 \to a = \left( {375 - b} \right) \cr & 0,8 \cdot a + 1,0 \cdot b = 339 \cr & 0,8 \cdot \left( {375 - b} \right) + 1 \cdot b = 339 \cr & 300 - 0,8 \cdot b + 1 \cdot b = 339\,\,\,\,\,\left| { - 300} \right. \cr & 0,2 \cdot b = 39\,\,\,\,\,\left| {:0,2} \right. \cr & b = \dfrac{{39}}{{0,2}} = 195 \cr & a = 375 - 195 = 180 \cr & \cr & {\text{Probe:}} \cr & a + b = 180 + 195 = 375{\text{ wzbw}} \cr & 0,8{\text{€ }} \cdot 180 + 1{\text{€ }} \cdot {\text{195 = 339€ wzbw}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1: }}a + b = 375 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}0,8 \cdot a + 1,0 \cdot b = 339 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems mit zwei Gleichungen, ein halber Punkt für nur eine richtige Gleichung.