Aufgabe 11270
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Smoothie
Der Vitamin-C-Gehalt von Schwarzen Johannisbeeren beträgt durchschnittlich 177 mg pro 100 g, der Vitamin-C-Gehalt von Kiwis beträgt durchschnittlich 46 mg pro 100 g. Für einen Smoothie sollen die beiden Fruchtsorten so gemischt werden, dass man eine Mischung mit insgesamt 75 g erhält, die 100 mg Vitamin C enthält.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie die Menge an Schwarzen Johannisbeeren (in g) und die Menge an Kiwis (in g), die für diesen Smoothie gemischt werden müssen.
Lösungsweg
Der Angabe entnehmen wir:
- x ... Menge an Schwarzen Johannisbeeren in g
- y ... Menge an Kiwis in g
Damit wir die 2 Unbekannten bestimmen können, benötigen wir 2 Gleichungen:
- Eine Gleichung für das Gewicht in g:
Beide Fruchtsorten x in g bzw. y in g sollen zusammen ein Gewicht von 75g aufweisen:
\(1:x + y = 75\) - Eine Gleichung für den Vitamin C Gehalt in mg pro g an Frucht (Achtung: Umrechnen!):
- Schwarzen Johannisbeeren 1,77 mg/g; Kiwi: 0,46g/g; in Summe: 100mg
- \(2:1,77 \cdot x + 0,46 \cdot y = 100\)
Das lineare Gleichungssystem lautet somit:
\(\eqalign{ & 1:x + y = 75 \cr & 2:1,77 \cdot x + 0,46 \cdot y = 100 \cr} \)
Beim Substitutionsverfahren (Einsetzungsmethode) wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.
\(\eqalign{ & 1:x + y = 75 \cr & 2:1,77 \cdot x + 0,46 \cdot y = 100 \cr & \cr & 1:x = 75 - y \cr & \cr & 2:1,77 \cdot \left( {75 - y} \right) + 0,46 \cdot y = 100 \cr & 2:132,75 - 1,77 \cdot y + 0,46 \cdot y = 100 \cr & 2:132,75 - \left( {1,77 + 0,46} \right) \cdot y = 100 \cr & 2: - 1,31 \cdot y = - 32,75 \cr & 2:y = \dfrac{{ - 32,75}}{{ - 1,31}} = 25 \to y = 25 \cr & \cr & 1:x = 75 - 25 = 50 \to x = 50 \cr & \cr & x = 50 \cr & y = 25 \cr} \)
→ Für diesen Smoothie müssen 50 g Schwarze Johannisbeeren und 25 g Kiwis gemischt werden.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Für diesen Smoothie müssen 50 g Schwarze Johannisbeeren und 25 g Kiwis gemischt werden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte. Die Angabe der Einheit ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.