Aufgabe 11180
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Variablen x:
\(3 \cdot {x^2} + a = 2 \cdot {x^2} + 6 \cdot x - 4{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie alle Werte von a, für die die gegebene Gleichung zwei verschiedene Lösungen in \({\Bbb R}\) hat.
Lösungsweg
Wir formen die Gleichung so um, dass auf der rechten Seite eine Null steht:
\(\eqalign{ & 3 \cdot {x^2} + a = 2 \cdot {x^2} + 6 \cdot x - 4\,\,\,\,\,\left| { - 2{x^2} - 6x + 4} \right. \cr & 3 \cdot {x^2} + a - 2{x^2} - 6x + 4 = 0 \cr & 3 \cdot {x^2} - 2{x^2} - 6x + a + 4 = 0 \cr & {x^2} - 6x + a + 4 = 0 \cr} \)
Der Koeffizient a vor dem quadratischen Glied ist 1. Es liegt daher die Normalform der quadratischen Gleichung vor. Für die rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq Formel gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr} \)
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle.
- D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
- D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\)
- D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\) , aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
Damit die gegebene quadratische Gleichung zwei verschiedene Lösungen in \({\Bbb R}\) hat muss D>0 gelten
Der Angabe entnehmen wir:
\(p = - 6\,\,\,\,\,q = a + 4\)
Wir setzen in die Gleichung für die Diskriminante ein
\(\eqalign{ & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr & \cr & {\left( {\dfrac{{ - 6}}{2}} \right)^2} - \left( {a + 4} \right) > 0 \cr & \dfrac{{36}}{4} - a - 4 > 0 \cr & 5 - a > 0 \cr & 5 > a \cr & a < 5 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(a < 5\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln aller Werte von a.