Abitur Gymnasium Bayern
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Aufgaben
Aufgabe 6049
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben sind die Ebene \(E:2 \cdot {x_1} + {x_2} + 2 \cdot {x_3} = 6\) sowie die Punkte \(P\left( {1\left| 0 \right.\left| 2 \right.} \right){\text{ und }}Q\left( {5\left| {2\left| 6 \right.} \right.} \right)\)
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E verläuft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:20
Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F.
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Aufgabe 6050
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die in IR definierte Funktion \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) . Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse und begründen Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für \(x \to - \infty {\text{ und }}x \to + \infty \)
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f‘‘ von f die Beziehung \(f''\left( x \right) = \frac{1}{4} \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\) gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist.
Zur Kontrolle: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {{e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}} \right)\)
4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf .
5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt \(P\left( {2\left| {f\left( 2 \right)} \right.} \right)\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right),\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 9} \right)\)
6. Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) in das Koordinatensystem aus der 5. Teilaufgabe e) ein.
7. Teilaufgabe g) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in {\Bbb R}\) die Beziehung \(\dfrac{1}{4} \cdot {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 1\) gilt.
8. Teilaufgabe h) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die als Kurvenlänge La;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b\) lässt sich mithilfe der Formel \({L_{a;b}} = \int\limits_a^b {\sqrt {1 - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\) berechnen. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L0;b des Graphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( 0 \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit b > 0}}\)
Ergebnis: \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\)
Aufgabe 6051
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph Gf gemäß \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) aus Aufgabe 6050 beschreibt im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1 und F2 der Masten durch die Punkte \(\left( { - 4\left| 0 \right.} \right){\text{ bzw}}{\text{. }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.
2. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 6050 8. Teilaufgabe h) \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\) die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \({\Bbb R}\) definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \(\left( {0\left| 2 \right.} \right)\) hat und durch den Punkt \(P\left( {4\left| {f\left( 4 \right)} \right.} \right)\) verläuft. Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden.
4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Für jedes \(x \in \left] {0;4} \right[\) wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte \(\left( {x\left| {q\left( x \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich \(q\left( x \right) > f\left( x \right)\) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen Gf im Bereich \(\left( {0 < x < 4} \right)\) annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.
Aufgabe 6052
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:
- I Breite des Tunnelbodens: b=10 m
- II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h=5 m
- III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6m mindestens 4m hoch.
1. Teilaufgabe a) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion
\(p:x \mapsto - 0,2 \cdot {x^2} + 5{\text{ mit }}{{\text{D}}_p} = \left[ { - 5;5} \right]\).
Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d(x) der Graphenpunkte \({P_x}\left( {x\left| {p\left( x \right)} \right.} \right)\) vom Ursprung des Koordinatensystems. Zeigen Sie, dass
\(d\left( x \right) = \sqrt {0,04 \cdot {x^4} - {x^2} + 25} \) gilt.
3. Teilaufgabe c) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte Px , für die d(x) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.
4. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ
\(k:x \mapsto 5 \cdot \cos \left( {c \cdot x} \right){\text{ mit }}c \in {\Bbb R}{\text{ und }}{{\text{D}}_k} = \left[ { - 5;5} \right]\),
bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist. Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.
Zur Kontrolle: \(c = \dfrac{\pi }{{10}}\) und Inhalt der Querschnittsfläche: \(\dfrac{{100}}{\pi }{{\text{m}}^2}\)
5. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist.
6. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion
\(f:x \mapsto \sqrt {25 - {x^2}} {\text{ mit }}{D_f} = \left[ { - 5;5} \right]\)
Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: \(\left( { - 5 \leqslant x \leqslant 9} \right)\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 13} \right)\) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist.
7. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Betrachtet wird nun die Integralfunktion
\(F:x \mapsto \int\limits_0^x {f\left( t \right)} \,\,dt{\text{ mit }}{D_f} = \left[ { - 5;5} \right]\)
Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass \(F\left( 5 \right) = \dfrac{{25}}{4} \cdot \pi \) gilt.
Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.
8. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit f von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.
9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung
\(y = - \dfrac{4}{3} \cdot x + 12\) modelliert. Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen von f im Punkt \(R\left( {4\left( {f\left( 4 \right)} \right)} \right)\) parallel zu g verläuft. Zeichnen Sie g und t in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.
10. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Der Punkt R aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand e in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von e.
Aufgabe 6053
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei 100 000 der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind 12 000 jeweils 5 € wert, der Rest ist jeweils 1 € wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
- A: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
- B: „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €.“
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B).
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis A eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets P(a)=0,05 und P(B)=0,044 . Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5% mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.
5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.
6. Teilaufgabe a) 7 BE - Bearbeitungszeit: 16:20
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorleflaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als 0,05 ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.
Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05“ auf einem Signifikanzniveau von 1% durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur 3% der Saftschorle- Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.
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Aufgabe 6054
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. 41 % aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens 10 % der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 6055
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Nach einer aktuellen Erhebung leiden 25 % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden n Personen zufällig ausgewählt.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, wie groß n mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.
Im Folgenden ist n=200 . Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden.
2. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße X höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht.
Aufgabe 6056
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,5% ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % ebenfalls positiv.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (Ergebnis: 9%)
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet.
3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Aus der Bevölkerung Deutschlands wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet. Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang mit dem Term \(0,09 \cdot 0,15 + 0,91 \cdot 0,35\) berechnet wird.
Aufgabe 6057
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A\left( {6\left| {3\left| 3 \right.} \right.} \right),\,\,B\left( {3\left| {6\left| 3 \right.} \right.} \right){\text{ und C}}\left( {3\left| {3\left| 6 \right.} \right.} \right)\) das gleichseitige Dreieck ABC fest.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck ABC liegt, in Normalenform.
mögliches Ergebnis: \(E:{x_1} + {x_2} + {x_3} - 12 = 0\)
Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum \(Z\left( {3\left| {3\left| 3 \right.} \right.} \right)\) o erhält man die Punkte A‘ , B‘ bzw. C‘ .
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \(\left[ {CC'} \right]\) senkrecht auf dieser Ebene steht.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Begründen Sie, dass das Viereck ABA‘B‘ ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3 \cdot \sqrt 2 \) ist.
Der Körper ABA‘B’CC‘ ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat ABA’B‘ als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C bzw. C‘ .
4. Teilaufgabe d) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.
5. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen ABC und AC‘B.
6. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.
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Aufgabe 6058
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Kamera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera in der gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern, ermöglichen eine Bewegung der Kamera.
In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der x1x2 -Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte W1, W2 , W3 und W4 beschreiben die Positionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1m in der Realität, d. h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von 30 m angebracht.
Der Punkt \(A\left( {45\left| {60\left| 0 \right.} \right.} \right)\) beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von 25 m vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um 19 m vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprüngliche Kameraposition durch den Punkt K0 , die abgesenkte Position durch den Punkt K1 dargestellt.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinig verlaufen.
Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von 10 m über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt K2 beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt K1 entlang der Geraden g mit der Gleichung
\(g:\overrightarrow X = \overrightarrow {{K_1}} + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ {20}\\ 2 \end{array}} \right),\,\,\lambda \in \Bbb R\)
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Koordinaten von K2 .
Ergebnis: \({K_2}\left( {51\left| {100\left| {10} \right.} \right.} \right)\)
Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt \(B\left( {40\left| {105\left| 0 \right.} \right.} \right)\) beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels.
Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt \(H\left( {50\left| {70\left| {15} \right.} \right.} \right)\) beschrieben.
4. Teilaufgabe d) 7 BE - Bearbeitungszeit: 16:20
Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte W1, W2 und K2 festgelegten Ebene E in Normalenform und weisen Sie nach, dass H unterhalb von E liegt.
Mögliches Teilergebnis: \(E:{x_2} + 5 \cdot {x_3} - 150 = 0\)
5. Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Machen Sie plausibel, dass folgende allgemeine Schlussfolgerung falsch ist: „Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene E, so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch \(\left[ {{W_1}{K_2}} \right]{\rm{ und }}\left[ {{W_2}{K_2}} \right]\) beschrieben werden, nicht berühren.“
Aufgabe 6059
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt modellhaft die Profillinie einer Skisprunganlage, die aus der Sprungschanze und dem Aufsprunghang besteht. Das kartesische Koordinatensystem ist so gewählt, dass die x-Achse die Horizontale beschreibt und der Koordinatenursprung mit dem Ende der Anlaufspur, dem sogenannten Absprungpunkt, zusammenfällt; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei einem Meter in der Realität.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Der höchste Punkt der Anlaufspur wird durch den Punkt \(S\left( { - 94\left| {51} \right.} \right)\) dargestellt. Die Anlaufspur verläuft im Modell zwischen den Punkten S und P entlang einer Geraden, die gegenüber der x-Achse um -35° geneigt ist. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden durch S und P. Runden Sie im Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Punkte S und P liegen in der Realität 50 m voneinander entfernt. Berechnen Sie die Koordinaten von P auf eine Nachkommastelle genau.
3. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Der Aufsprunghang beginnt im Modell im Punkt D, der sich vertikal unterhalb des Absprungpunkts befindet. Die Profillinie des Aufsprunghangs lässt sich im Bereich \(\left[ {0;160} \right]\) durch die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion
\(h:x \mapsto 3,36 \cdot {10^{ - 5}} \cdot {x^3} - 0,00827 \cdot {x^2} - 0,0455 \cdot x - 3,38\)
beschreiben. Geben Sie die Höhe des Absprungpunkts über dem Beginn des Aufsprunghangs sowie die Steigung des Aufsprunghangs in seinem Beginn an.
4. Teilaufgabe b) 8 BE - Bearbeitungszeit: 18:40
Derjenige Punkt, in dem die Profillinie im unteren Bereich des Aufsprunghangs einen Neigungswinkel von -32° gegenüber der Horizontalen aufweist, wird als Hillsize-Punkt bezeichnet (vgl. Abbildung). Die Größe einer Skisprunganlage wird durch die Länge der Strecke zwischen dem Absprungpunkt und dem Hillsize-Punkt festgelegt und als Hillsize bezeichnet.
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die Hillsize auf Meter genau und berechnen Sie deren prozentuale Abweichung von der tatsächlichen Hillsize dieser Skisprunganlage, die 132 m beträgt.
5. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Zur Beschreibung der Flugkurve eines Skispringers wird die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion
\(s:x \mapsto - 4,2 \cdot {10^{ - 3}} \cdot {x^2} - 0,1 \cdot x\)
verwendet. Dabei ist die Sprungweite die Länge der Profillinie des Aufsprunghangs zwischen dem Punkt D und dem Punkt L, der den Landepunkt des Skispringers auf dem Aufsprunghang beschreibt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts L auf eine Nachkommastelle genau.
(Teilergebnis: x-Koordinate des Punkts L: 114,6)
Die als Kurvenlänge ; bezeichnete Länge des Graphen der Funktion h zwischen den Punkten (a | h(a)) und (b | h(b)) mit a < b kann mithilfe der Formel
\(l = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {h'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,dx\)
berechnet werden.
Hinweis: Führen Sie die Berechnungen in den Teilaufgaben 6 und 7 mit dem CAS jeweils näherungsweise durch!
6. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Sprungweite des Skispringers; berücksichtigen Sie dabei, dass beim Skispringen Sprungweiten nur auf halbe Meter genau angegeben werden.
(Ergebnis: 132,5m)
7. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der K-Punkt (kritischer Punkt) der hier betrachteten Skisprunganlage liegt so auf der Profillinie, dass die Kurvenlänge zwischen ihm und dem Beginn des Aufsprunghangs, die sogenannte K-Punkt-Weite, 120 m beträgt. Ermitteln Sie die Koordinaten des K-Punkts auf eine Nachkommastelle genau.
8. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Für einen Sprung auf den K-Punkt einer Skisprunganlage bekommt ein Springer 60 Weitenpunkte. Für jeden halben Meter, den er kürzer bzw. weiter springt, werden Weitenpunkte gemäß nachstehender Tabelle subtrahiert bzw. addiert.
K-Punkt-Weite der Sprunganlage in Metern | Weitenpunkte pro halben Meter |
70-79 | 1,1 |
80-99 | 1,0 |
100-169 | 0,9 |
ab 170 | 0,6 |
Bestimmen Sie die Gesamtzahl der Weitenpunkte für den betrachteten Sprung.
9. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Landung ist für den Springer umso schwieriger, je größer der Winkel zwischen Aufsprunghang und Flugkurve im Landepunkt ist. Berechnen Sie die Größe dieses Winkels für den betrachteten Sprung.
10. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Formulieren Sie im Sachzusammenhang eine Aufgabenstellung, die mit folgendem Lösungsweg gelöst werden kann.
\(\eqalign{ & d\left( x \right) = s\left( x \right) - h\left( x \right) \cr & d'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x_1} \approx 7,4;\,\,\,{x_2} \approx 73,4 \cr & d\left( {{x_1}} \right) \approx 3,2;\,\,\,\,\,d\left( {{x_2}} \right) \approx 8,0 \cr} \)
→ Der gesuchte Wert beträgt etwa 8,0m.
11. Teilaufgabe g) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zur Beschreibung der Flugkurve eines zweiten Skispringers wird die in IR definierte Funktion t verwendet. Dabei gilt:
\(\eqalign{ & t\left( 0 \right) = 0 \cr & t'\left( 0 \right) = - 0,087 \cr & t\left( {105} \right) = h\left( {105} \right) \cr} \)
Entscheiden Sie jeweils, welcher der beiden Skispringer unter einem betragsmäßig größeren Winkel gegenüber der Horizontalen abspringt und welcher die größere Sprungweite erzielt. Begründen Sie Ihre Entscheidungen.
Aufgabe 6060
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \dfrac{x}{{x + 3}}\) mit maximalem Definitionsbereich Df . Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Geben Sie Df , den Wertebereich Wf von f sowie die Gleichungen aller Asymptoten von Gf an.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Graph der Funktion g geht aus Gf durch eine Verschiebung hervor und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Geben Sie eine Gleichung von g an.
3. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Die Funktion f ist umkehrbar. Beschreiben Sie, wie man den Term der Umkehrfunktion von f bestimmen kann, und geben Sie Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion von f an.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Graph der Funktion f und der Graph der Umkehrfunktion von f schneiden sich im Koordinatenursprung. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die beiden Graphen im Koordinatenursprung einschließen.
5. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Punkte \(O\left( {0\left| 0 \right.} \right){\text{ und A}}\left( {a\left| 1 \right.} \right){\text{ mit }}a \in {{\Bbb R}^ + }\) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten parallel zur x-Achse bzw. zur y-Achse sind. Das Rechteck wird von Gf in zwei Teilflächen gleichen Inhalts zerlegt. Bestimmen Sie einen Näherungswert für a auf zwei Dezimalen genau.