Aufgabe 6043
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt den Graphen Gk einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion k.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion Gk‘ .
Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen Gk an dessen Wendepunkt \(\left( {0\left| { - 3} \right.} \right)\) sowie die Nullstelle von k‘
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Der Verlauf von Gk erinnert uns an den Graph einer Funktion vom Typ "natürliche Exponentialfunktion" bzw. Eulersche Funktion, deren 1. Ableitung wieder eine Funktion vom Typ "natürliche Exponentialfunktion" ist, also irgendwie ähnlich aussehen wird.
Die Angabe beinhaltet 2 Hinweise:
1. Hinweis: Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen Gk an dessen Wendepunkt (0|-3). Wir übersetzen "Steigung des Graphen" mit "Tangente an den Graph" und zeichnen diese ein. Wir können die Funktionsgleichung der Tangente direkt ablesen: k=-2 und d=-3. Da an dieser Stelle ein Wendepunkt vorliegt, muss die 1. Ableitung gemäß der "NEW-Regel" an dieser Stelle einen Extremwert haben. Da sich die Krümmung von Gk von rechts-gekrümmt nach links-gekrümmt ändert, muss der Extremwert ein Tiefpunkt sein. Gk' hat daher am TP (0|-2) eine horizontale Tangente.
2. Hinweis: Berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Nullstelle von Gk'. Gemäß der "NEW-Regel" muss die NST der 1. Ableitung, also von Gk' dort liegen wo die Funktion Gk einen Extremwert (in diesem Fall den TP) hat. Der Tiefpunkt liegt an der Stelle x=1, daher muss dort auch die NST von Gk' liegen. Wir können also einen weiteren Punkt vom gesuchten Graph einzeichnen.
1. Beobachtung: Für \({G_k}:x \to -\infty \) wird die horizontale Gerade y=1 eine Asymptote von Gk. Dh geht x gegen minus Unendlich, dann hat die Tangente an den Graph von Gx die Steigung 0. Somit muss die 1. Ableitung für x gegen Unendlich die negative x-Achse sein, bzw y=0.
2. Beobachtung: Für \({G_k}:x \to +\infty \) steigt der Graph von Gk gegen + Unendlich. Das selbe muss für Gk' gelten.
Unter Berücksichtigung der beiden Hinweise und der beiden Beobachtungen können wir den gesuchten Graph von Gk' wie folgt skizzieren. Und tatsächlich erhalten wir - wie schon eingangs vermutet - einen durchaus ähnlich verlaufenden Graph.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe