Aufgabe 99
Richtungsvektor der Winkelsymmetrale
Ermittle den Richtungsvektor der Winkelsymmetrale zwischen den beiden gegebenen Vektoren
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ { - 4} \cr 7 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 3 \cr 6 \cr { - 6} \cr } } \right);\)
Lösungsweg
Die Winkelsymmetrale halbiert den zugehörigenWinkel und läuft durch den Scheitelpunkt des Winkels. Jeder Punkt der auf der Winkelsymmetrale liegt hat den selben Normalabstand zu den beiden Schenkeln, die den Winkel aufspannen.
Gemäß der Formel zur Ermittlung des "Betrags bzw. der Länge eines Vektors" gilt:
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2 + {a_z}^2} ;\)
\(\eqalign{ & \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {7^2} + {4^2}} = \sqrt {16 + 49 + 16} = \sqrt {81} = 9; \cr & \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{3^2} + {6^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {9 + 36 + 36} = \sqrt {81} = 9; \cr}\)
Gemäß der Formel für den "Richtungsvektor der Winkelsymmetrale zwischen 2 Vektoren" gilt:
\(\overrightarrow w = \dfrac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} + \dfrac{{\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{\text{ für }}a,b \ne 0;\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow w = {{\overrightarrow a } \over {\left| {\overrightarrow a } \right|}} + {{\overrightarrow b } \over {\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \cr & \cr & = \left( {\matrix{ {{{ - 4} \over 9}} \cr {{7 \over 9}} \cr {{4 \over 9}} \cr } } \right) + \left( {\matrix{ {{3 \over 9}} \cr {{6 \over 9}} \cr {{{ - 6} \over 9}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{{ - 4 + 3} \over 9}} \cr {{{7 + 6} \over 9}} \cr {{{4 - 6} \over 9}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{{ - 1} \over 9}} \cr {{{13} \over 9}} \cr {{{ - 2} \over 9}} \cr } } \right) \cr}\)
Durch nachfolgende Vereinfachung ändert sich die Richtung der Winkelsymmetrale nicht, es ändert sich nur der Betrag, also die Länge des Vektors, was jedoch bedeutungslos ist.
\(\overrightarrow w \buildrel \wedge \over = \left( {\matrix{ { - 1} \cr {13} \cr { - 2} \cr } } \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overrightarrow w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {13}\\ { - 2} \end{array}} \right);\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.