Aufgabe 105
Winkel zwischen 2 Vektoren
Es sind die Punkte \(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 3 \end{array}} \right)\), \(B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)\) und \(S\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right)\)gegeben.
Berechne den Winkel \(\varphi\) zwischen \(\overrightarrow {AS}\) und \(\overrightarrow {BS} \).
Lösungsweg
Wir bilden zuerst die Vektoren \(\overrightarrow {AS} \) und \(\overrightarrow {BS} \) und ermitteln anschließend den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
Gemäß der „Spitze minus Schaft Regel“ gilt:
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AS} = S - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - 6} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {BS} = S - B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ { - 6} \end{array}} \right) \end{array}\)
Gemäß der Formel für den „Winkel zwischen 2 Vektoren“ gilt:
\(\varphi = \arccos \dfrac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\)
\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - 6} \end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ { - 6} \end{array}} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \\ \\ = \dfrac{{0 \cdot \left( { - 6} \right) + \left( { - 6} \right) \cdot \left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {36} \cdot \sqrt {72} }} = \\ = \dfrac{{36}}{{\sqrt {36} \cdot \sqrt {2.36} }} = \\ = \dfrac{{\sqrt {36} \cdot \sqrt {36} }}{{\sqrt {36 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt {36} } }}\\ \cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\\ \\ \varphi = \arccos \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \\ = \arccos 0,7071 = \\ 45^\circ \end{array}\)
\(\varphi = 45^\circ \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\varphi = 45^\circ \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.