Aufgabe 100

1. Teilaufgabe:
Setze direkt in die entsprechende Formel ein

Gemäß der Formel für die Ermittlung des "Schwerpunkt eines Dreiecks mittels Vektorrechnung" gilt:
\(S = {1 \over 3}\left( {A + B + C} \right) = {1 \over 3} \cdot \left( {\matrix{ {{A_x} + {B_x} + {C_x}} \cr {{A_y} + {B_y} + {C_y}} \cr {{A_z} + {B_z} + {C_z}} \cr } } \right)\)

\(\eqalign{ & S = {1 \over 3} \cdot \left[ {\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right) + \left( {\matrix{ 5 \cr 3 \cr } } \right) + \left( {\matrix{ 1 \cr 4 \cr } } \right)} \right] = \cr & = {1 \over 3} \cdot \left( {\matrix{ {3 + 5 + 1} \cr {2 + 3 + 4} \cr } } \right) = {1 \over 3} \cdot \left( {\matrix{ 9 \cr 9 \cr } } \right) = \cr & S = \left( {\matrix{ 3 \cr 3 \cr } } \right) \cr}\)

2. Teilaufgabe:
Schneide 2 der 3 Schwerelinien

Halbierungspunkt zwischen B und C

\({H_{BC}} = {1 \over 2}(B + C) = {1 \over 2} \cdot \left[ {\left( {\matrix{ 5 \cr 3 \cr } } \right) + \left( {\matrix{ 1 \cr 4 \cr } } \right)} \right] = {1 \over 2} \cdot \left( {\matrix{ {5 + 1} \cr {3 + 4} \cr } } \right) = {1 \over 2} \cdot \left( {\matrix{ 6 \cr 7 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 3 \cr {3,5} \cr } } \right);\)

Vektor zum Halbierungspunkt von der gegenüber liegenden Ecke „A“

\(\overrightarrow {A{H_{BC}}} = {H_{BC}} - A = \left( {\matrix{ 3 \cr {3,5} \cr } } \right) - \left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 0 \cr {1,5} \cr } } \right);\)

Geradengleichung der Schwerelinie s_a bestehend aus Punkt und Richtung

\({s_a}:\overrightarrow x = \left( {\matrix{ 3 \cr {3,5} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ 0 \cr {1,5} \cr } } \right);\)

Halbierungspunkt zwischen A und C

\({H_{AC}} = {1 \over 2}\left( {A + C} \right) = {1 \over 2} \cdot \left[ {\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right) + \left( {\matrix{ 1 \cr 4 \cr } } \right)} \right] = {1 \over 2} \cdot \left( {\matrix{ {3 + 1} \cr {2 + 4} \cr } } \right) = {1 \over 2} \cdot \left( {\matrix{ 4 \cr 6 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 2 \cr 3 \cr } } \right);\)

Vektor zum Halbierungspunkt von der gegenüber liegenden Ecke „B“

\(\overrightarrow {B{H_{AC}}} = {H_{AC}} - B = \left( {\matrix{ 2 \cr 3 \cr } } \right) - \left( {\matrix{ 5 \cr 3 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - 3} \cr 0 \cr } } \right);\)

Geradengleichung der Schwerelinie s_b bestehend aus Punkt und Richtung

\({s_b}:\overrightarrow x = \left( {\matrix{ 2 \cr 3 \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ { - 3} \cr 0 \cr } } \right);\)

S liegt (als einziger Punkt) auf beiden Geraden, daher gleichsetzen der Gleichungen

\({s_a} = {s_b}:\left( {\matrix{ 3 \cr {3,5} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ 0 \cr {1,5} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 2 \cr 3 \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ { - 3} \cr 0 \cr } } \right);\)

2 Gleichungen für die beiden Unbekannten u bzw. v

\(\eqalign{ & 1.Gl:3 = 2 - 3v \Rightarrow 3v = - 1 \Rightarrow v = - {1 \over 3}; \cr & 2.Gl:3,5 + 1,5u = 3 \Rightarrow 1,5u = - 0,5 \Rightarrow u = - {1 \over 3}; \cr}\)

Durch Einsetzen von u erhalten wir S

\(S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
{3,5}
\end{array}} \right) - \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 0}\\
{1,5}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{3 - \dfrac{{ - 0}}{3}}\\
{3,5 - \dfrac{{1,5}}{3}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
3
\end{array}} \right)\)

Kontrolle: Durch Einsetzen von v erhalten wir ebenfalls S

\(S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
3
\end{array}} \right) - \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}\\
0
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - \dfrac{{ - 3}}{3}}\\
{3 - \dfrac{0}{3}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
3
\end{array}} \right)\)

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