Aufgabe 211
Differenzieren von Logarithmusfunktionen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = {\left( {\ln x} \right)^2} = {\ln ^2}\left( x \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Logarithmen an.
1. Möglichkeit: Wir differenzieren f(x) direkt und denken an die innere Ableitung vom Ausdruck in der Klammer:
\(f(x) = {\left( {\ln x} \right)^2}\)
\(f'\left( x \right) = 2 \cdot \ln \left( x \right) \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x} \cdot \ln \left( x \right)\)
Wir haben die Kettenregel und die Regel zum Differenzieren vom Logarithmus angewendet.
2. Möglichkeit: Wir lösen das Quadrat auf und differenzieren das so entstehende Produkt:
\(f(x) = {\left( {\ln x} \right)^2} = {\ln ^2}\left( x \right) = \ln \left( x \right) \cdot \ln \left( x \right)\)
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cdot \ln \left( x \right) + \ln \left( x \right) \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x} \cdot \ln \left( x \right)\)
Wir haben die Produktregel und die Regel zum Differenzieren vom Logarithmus angewendet.
Gemäß der Regel zum Differenzieren von Produkten gilt:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\,\\ f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \end{array}\)
Gemäß der Regel zum Differenzieren von Logarithmen gilt:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \ln x\\ f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{x} \cdot \ln \left( x \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.