Aufgabe 201
Differentialrechnung bei impliziter Darstellung
Gegeben sei die Funktion: \({x^2} + {y^2} = 4;\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung für implizite Darstellung.
Lösungsweg
Es liegt die implizite Darstellung eines Kreises vor. Wir werden zunächst in eine explizite Darstellung umformen und dann recht einfach differenzieren und alternativ werden wir die implizite Darstellung direkt differenzieren und natürlich das gleiche Resultat erhalten...
Es liegt die implizite Darstellung (eines Kreises) vor
\({x^2} + {y^2} = 4\)
*) Wir formen um und erhalten die explizite Darstellung, die wir recht einfach differenzieren können
\(\eqalign{ & y = {\left( {4 - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} \cr & y' = \dfrac{1}{2}{\left( {4 - {x^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}} \cdot \left( { - 2x} \right) = - \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} \cr}\)
*) Alternativ wollen wir direkt die implizite Darstellung differenzieren
\({x^2} + {y^2} = 4\)
Wir differenzieren nach der Kettenregel und erhalten
\(\eqalign{ & 2x + 2y \cdot y' = 0 \cr & 2yy' = - 2x \cr}\)
Wir machen y‘ explizit
\(y' = - \dfrac{{2x}}{{2y}} = - \dfrac{x}{y};\)
Für y setzen wir den zugehörigen x-Wert ein
\(y' = - \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(y' = - \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.