Aufgabe 199
Differentialrechnung bei impliziter Darstellung
Gegeben sei die Funktion: \({y^2} = x;\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung für implizite Darstellung.
Lösungsweg
Die Angabe zeigt die Funktion in ihrer expliziten Form. Gemäß der Vorgabe machen wir die Darstellung daher zunächst implizit, differenzieren dann um sie letztlich wieder explizit zu machen.
Es liegt eine explizite Darstellung vor, da „y“ freigestellt ist.
\(f(x) = y = \sqrt x ;\,\,\,\,\,\left| {\,{\,^2}} \right.\)
Durch Potenzieren erhalten wir die implizite Darstellung
\({y^2} = x\)
Wir differenzieren nach der Kettenregel und erhalten
\(2 \cdot y \cdot y' = 1\)
Wir machen y‘ explizit
\(y' = \dfrac{1}{{2y}} =\)
Für y setzen wir den zugehörigen x-Wert ein
\(= \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{1}{2}{x^{ - \dfrac{1}{2}}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(y' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{1}{2}{x^{ - \dfrac{1}{2}}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.