Aufgabe 195
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \cos \left( {{e^{\cos \left( {3x} \right)}}} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkel- und von Exponentialfunktionen an.
Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und 3x die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = \cos \left( {{e^{\cos \left( {3x} \right)}}} \right)\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = - \sin \left( {{e^{\cos \left( {3x} \right)}}} \right) \cdot {e^{\cos \left( {3x} \right)}} \cdot \left( { - \sin \left( {3x} \right)} \right) \cdot 3 = \cr & =3\sin \left( {3x} \right) \cdot \sin \left( {{e^{\cos \left( {3x} \right)}}} \right) \cdot {e^{\cos \left( {3x} \right)}} \cr}\)
Wir haben die Differentationsregeln für Exponentialfunktionen und die allgemeine Kettenregel angewendet:
Die Regel für das Differenzieren von Exponentialfunktionen lautet:
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {e^{kx}}; \cr & y' = f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}}; \cr}\)
Die Kettenregel beim Differenzieren lautet:
\(\eqalign{ & \left( x \right) = u\left( {v\left( {w\left( x \right)} \right)} \right); \cr & y' = f'\left( x \right) = u'\left( {v\left( {x\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {w\left( x \right)} \right) \cdot w'\left( x \right); \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 3 \cdot {e^{\cos \left( {3x} \right)}} \cdot \sin \left( {3x} \right) \cdot \sin \left( {{e^{\cos \left( {3x} \right)}}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.