Aufgabe 166
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \tan x\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen an.
\(\eqalign{ & f(x) = \tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} \cr & \cr}\)
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} =\)
entweder:
\(= \dfrac{{si{n^2}x + co{s^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\sec ^2}x\)
oder gleichwertig:
\(= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)
Wir haben dabei den "trigonometrischen Satz des Pythagoras" verwendet:
Gemäß dem trigonometrischen Pythagoras gilt:
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)
Weiters haben wir den "Sekans" verwendet: Der Sekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis der Hypotenuse (=1 am Einheitskreis) zur Ankathete.
Gemäß der Formel für den "Sekans" gilt:
\(\sec x = \dfrac{1}{{\cos x}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\sec ^2}x = 1 + {\tan ^2}x\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.