Aufgabe 208
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot {e^{2x}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Produkten an.
\(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot {e^{2x}}\)
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 2x \cdot {e^{2x}} + \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot 2 \cdot {e^{2x}} = \\ = 2x \cdot {e^{2x}} + 2{x^2} \cdot {e^{2x}} - 2 \cdot {e^{2x}} = \\ = 2{e^{2x}} \cdot \left( {{x^2} + x - 1} \right) \end{array}\)
Wir haben die Produktregel anwendet.
Gemäß der Regel für das Differenzieren von Produkten gilt:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\,\\ f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} \cdot \left( {{x^2} + x - 1} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.