Aufgabe 184
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \root 4 \of {\cos \left( {\dfrac{1}{{\root 3 \of x }}} \right)}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir formen die Funktion so um, dass sie als reine Potenzfunktion angeschrieben werden kann, danach wenden wir konsequent die Kettenregel an.
Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und 2x die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = \root 4 \of {\cos \left( {\dfrac{1}{{\root 3 \of x }}} \right)} = \root 4 \of {\cos \left( {{x^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)} = {\left( {\cos \left( {{x^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)} \right)^{\dfrac{1}{4}}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{\left( {\cos \left( {{x^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)} \right)^{ - \dfrac{3}{4}}} \cdot \left( { - \sin \left( {{x^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)} \right) \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}{x^{ - \dfrac{4}{3}}}} \right) = \cr & = \dfrac{{sin\left( {{x^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)}}{{12 \cdot {x^{\dfrac{4}{3}}} \cdot {{\left( {\cos \left( {{x^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)} \right)}^{\dfrac{3}{4}}}}} = \cr & = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{1}{{\root 3 \of x }}} \right)}}{{12 \cdot x\root 3 \of x \cdot {{\cos }^{\dfrac{3}{4}}}\left( {\dfrac{1}{{\root 3 \of x }}} \right)}}; \cr}\)
Wir haben die Differentationsregeln für Winkelfunktionen sowie die allgemeine Kettenregel angewendet
Die allgemeine Kettenregel beim Differenzieren lautet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right); \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right); \cr} \)
mit
Substitution: | \(u = {x^{ - \,\frac{1}{3}}}\) |
Äußere Funktion: | \(w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) = {\left( {\cos \left( v \right)} \right)^{\frac{1}{4}}}\) |
Äußere Ableitung: | \(w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) = \dfrac{1}{4}{\left( {\cos \left( v \right)} \right)^{\dfrac{1}{4} - \dfrac{4}{4}}} = \dfrac{1}{4}{\left( {\cos \left( v \right)} \right)^{ - \,\dfrac{3}{4}}}\) |
Mittlere Funktion: | \(v\left( {u\left( x \right)} \right) = \cos \left( u \right)\) |
Mittlere Ableitung: | \(v'\left( {u\left( x \right)} \right) = - \sin \left( u \right)\) |
Innerste Funktion: | \(u\left( x \right) = {x^{ - \,\dfrac{1}{3}}}\) |
Innerste Ableitung: | \(u'\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^{ - \,\frac{4}{3}}}\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{1}{{\root 3 \of x }}} \right)}}{{12 \cdot x\root 3 \of x \cdot {{\cos }^{\dfrac{3}{4}}}\left( {\frac{1}{{\root 3 \of x }}} \right)}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.