Aufgabe 182
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \tan \left( {\sqrt x } \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Ableitung von \({\tan}\left( x \right)\) als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Kettenregel zu.
Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = \tan \left( {\sqrt x } \right) = tan\left( {{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\)
\(f'\left( x \right) = \left( {1 + {{\tan }^2}\left( {\sqrt x } \right)} \right) \cdot \dfrac{1}{{2\sqrt x }} =\)
entweder:
\(= \dfrac{{1 + {{\tan }^2}\left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }}\)
oder:
\(= \dfrac{{{{\sec }^2}\left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }}\)
Gemäß der Formel für die Winkelfunktion "Sekans" gilt:
\({\sec ^2}\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}\left( x \right)\)
Gemäß der Kettenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right); \cr}\)
mit
Substitution: | \(u = {x^{\dfrac{1}{2}}}\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = \tan \left( u \right)\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)\) Anmerkung: Wie man diese Ableitung durchführt, haben wir in "Beispiel 166" vorgerechnet! |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = {x^{\dfrac{1}{2}}}\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{1 + {{\tan }^2}\left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }} = \dfrac{{{{\sec }^2}\left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.