Aufgabe 180
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {\left( {\cot \sqrt {2x} } \right)^2} = {\cot ^2}\left( {\sqrt {2x} } \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Ableitung von \({\cot ^2}\left( x \right)\) als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Kettenregel zu.
\(f(x) = {\left( {\cot \sqrt {2x} } \right)^2} = {\cot ^2}\left( {\sqrt {2x} } \right);\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = - \dfrac{{2\left( {\cot \sqrt {2x} } \right)}}{{{{\left( {\sin \sqrt {2x} } \right)}^2}}} \cdot \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}} \right] = \cr & = - \dfrac{{2 \cdot \cot \left( {\sqrt {2x} } \right)}}{{\sqrt {2x} \cdot {{\sin }^2}\left( {\sqrt {2x} } \right)}} = \cr & = - \dfrac{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot \cot \left( {\sqrt {2x} } \right)}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt x \cdot {{\sin }^2}\left( {\sqrt {2x} } \right)}} = \cr}\)
entweder:
\(= - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\dfrac{{\cos \left( {\sqrt {2x} } \right)}}{{\sin \left( {\sqrt {2x} } \right)}}}}{{{{\sin }^2}\left( {\sqrt {2x} } \right)}} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\cos \left( {\sqrt {2x} } \right)}}{{{{\sin }^3}\left( {\sqrt {2x} } \right)}};\)
oder:
\(= - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} \cdot \left[ {\cot \left( {\sqrt {2x} } \right) \cdot {{\csc }^2}\left( {\sqrt 2 } \right)} \right];\)
Wir haben die Kettenregel angewendet und innerhalb der Kettenregel haben wir - um \({\cot ^2}\left( u \right)\)differenzieren zu können - erneut die Kettenregel angewendet (wurde bereits im Beispiel 170 vorgerechnet)
Gemäß der Formel für die Winkelfunktion "Kosekans" gilt:
\(\csc x = \dfrac{1}{{\sin x}}\)
Gemäß der Kettenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right); \cr}\)
mit
Substitution: | \(u = \sqrt {2x} = {\left( {2x} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {\cot ^2}u;\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = - \dfrac{{2\cot \left( u \right)}}{{{{\sin }^2}\left( u \right)}}\)Anmerkung: Wie man diese Ableitung durchführt, haben wir in "Beispiel 170" vorgerechnet! |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = {\left( {2x} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {2x} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot \left( 2 \right) = \dfrac{2}{{2 \cdot \sqrt {2x} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }};\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\cos \left( {\sqrt {2x} } \right)}}{{{{\sin }^3}\left( {\sqrt {2x} } \right)}} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} \cdot \left[ {\cot \left( {\sqrt {2x} } \right) \cdot {{\csc }^2}\left( {\sqrt 2 } \right)} \right]\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.