Aufgabe 176
Differenzieren von Wurzeln
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \sqrt {\sin x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Ableitungsregel für die Sinusfunktion als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Regel für das Differenzieren von Wurzeln zu ( letztlich den Regeln zum Differenzieren von Potenzen).
\(f(x) = \sqrt {\sin x} = {\left( {\sin x} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin {x^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot \cos x = \cr & = \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x} }}; \cr}\)
Wir haben die Regeln zum Differenzieren von Potenzen anwendet und an die innere Ableitung der Klammer zufolge der Kettenregel gedacht!
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.