Aufgabe 171
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = x \cdot {\left( {\sin x} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen an.
Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die Produktregel anwenden. Dabei kommt beim 2. Faktor auch noch die Kettenregel zur Anwendung. Wir müssen dabei die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden - wir haben das mal in eine eckige Klammern geschrieben.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = x \cdot {\left( {\sin x} \right)^2}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \left( 1 \right) \cdot {\sin ^2}\left( x \right) + \left( x \right) \cdot \left[ {2\sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right)} \right] = \cr & = \sin \left( x \right) \cdot \left[ {\sin \left( x \right) + 2x\cos \left( x \right)} \right] \cr}\)
Wir haben die Produkt- und die Kettenregel angewendet:
Produktregel (Differenzieren)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Die Kettenregel lautet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr}\)
mit:
Substitution: | \(u = \sin \left( x \right);\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {u^2};\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = 2u;\) |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = \sin \left( x \right);\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = \cos \left( x \right);\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \sin \left( x \right) \cdot \left[ {\sin \left( x \right) + 2x\cos \left( x \right)} \right]\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.