Aufgabe 161
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {x^x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Anmerkung: Sieht einfach aus, ist es aber nicht !
Lösungsweg
Sieht einfach aus, ist es aber nicht.
Damit wir x nicht einerseits als Basis und andererseits auch als Exponent haben, formen wir zunächst etwas trickreich um. Danach wenden wir die Kettenregel an.
\(\eqalign{ & x = {e^{\ln x}} \cr & {x^x} = {\left( {{e^{\ln x}}} \right)^x} = {e^{x \cdot \ln x}} \cr}\)
\(f(x) = {x^x} = {\left( {{e^{\ln x}}} \right)^x} = {e^{x \cdot \ln x}};\)
\(f'\left( x \right) = {e^{x.\ln x}} \cdot \left( {\ln x + 1} \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + 1} \right);\)
Wir haben die Kettenregel angewendet.
Gemäß der Kettenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr}\)
mit:
Substitution: | \(u = x \cdot \ln x\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {e^u}\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = {e^u}\) |
Innere Funktion: | \(x \cdot \ln x\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \left( {lnx + 1} \right)\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + 1} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.