Aufgabe 1613
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sicherheit eines Konfidenzintervalls
Die Abfüllanlagen eines Betriebes müssen in bestimmten Zeitabstanden überprüft und eventuell neu eingestellt werden. Nach der Einstellung einer Abfüllanlage sind von 1 000 überprüften Packungen 30 nicht ordnungsgemäß gefüllt. Für den unbekannten relativen Anteil p der nicht ordnungsgemäß gefüllten Packungen wird vom Betrieb das symmetrische Konfidenzintervall [0,02; 0,04] angegeben.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie unter Verwendung einer die Binomialverteilung approximierenden Normalverteilung die Sicherheit dieses Konfidenzintervalls!
Lösungsweg
Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau \(\gamma\)) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. Für diejenigen Werte p, in deren das \(\gamma\) Konfidenzintervall der Wert h liegt, gilt:
\({p_{1,2}} = \left[ {h - z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} ;\,\,\,\,h + z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} } \right]\)
gemäß der Angabe gilt
\(\left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = \left[ {0,02;\,\,0,04} \right]\)
Somit beträgt die Intervallbreite vom Konfidenzintervall = 0,04-0,02=0,02
\(h = \dfrac{k}{n} = \dfrac{{30}}{{1000}} = 0,03\) | relative Häufigkeit in einer Stichprobe |
p | unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit |
\(\gamma\) | Konfidenz- / Vertrauensniveau / Sicherheit |
n=1000 | Umfang der Stichprobe |
z | Ist aus einer der beiden Tabellen der Standardnormalverteilung abzulesen |
Wir setzen in die Gleichung für die Breite vom Konfidenzintervall ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} {p_{1,2}} = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} \\ 0,02 = 0,03 - z \cdot \sqrt {\dfrac{{0,03 \cdot 0,97}}{{1000}}} \\ z = \dfrac{{0,01}}{{\sqrt {\dfrac{{0,03 \cdot 0,97}}{{1000}}} }} = 1,8538 \end{array}\)
Mit Hilfe der z-Tabelle der Normalverteilung können wir gemäß dem Zusammenhang
\(D\left( z \right) = \gamma = D\left( {1,8538} \right) = 0,9357 \buildrel \wedge \over = 93,57\% \)
die Sicherheit des Konfidenzintervalls zu 93,57% ermitteln
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Sicherheit des Konfidenzintervalls beträgt ca. 93,57%.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
Toleranzintervall: [93%; 94%]