Aufgabe 1425
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rote und blaue Kugeln
In einem Behälter befinden sich 15 rote Kugeln und 18 blaue Kugeln. Die Kugeln sind bis auf ihre Farbe nicht unterscheidbar. Es sollen nun in einem Zufallsexperiment zwei Kugeln nacheinander gezogen werden, wobei die erste Kugel nach dem Ziehen nicht zurückgelegt wird und es auf die Reihenfolge der Ziehung ankommt.
Die Buchstaben r und b haben folgende Bedeutung:
- r ... das Ziehen einer roten Kugel
- b ... das Ziehen einer blauen Kugel
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Ein Grundraum G für dieses Zufallsexperiment lautet _______1______, und _________2___________ ist ein Ereignis.
1 | |
\(G = \left\{ {r,b} \right\}\) | A |
\(G = \left\{ {\left( {r,r} \right),\left( {r,b} \right),\left( {b,b} \right)} \right\}\) | B |
\(G = \left\{ {\left( {r,r} \right),\left( {r,b} \right),\left( {b,r} \right),\left( {b,b} \right)} \right\}\) | C |
2 | |
die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine blaue Kugel gezogen wird, | I |
jede Teilmenge des Grundraumes | II |
b | III |
Lösungsweg
Wir fassen kurz zusammen:
- wichtige Infos: Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, es sind mehr als 2 rote und mehr als 2 blaue Kugeln vorhanden und es kommt auf die Reihenfolge an. Dh \(\left( {r,b} \right) \ne \left( {b,r} \right)\)
Es handelt sich um eine "Variation mit Zurücklegen" - unwichtige Infos: Dass es ausgerechnet 15 rote und 18 blaue Kugeln sind
Die Ergebnismenge - auch Grundraum genannt - ist die Menge aller möglichen Ergebnisse Ai eines Zufallsexperiments, die grundsätzlich auftreten können.
- Die Menge aller möglichen Ergebnisse unter Berücksichtigung dass \(\left( {r,b} \right) \ne \left( {b,r} \right)\) gilt lautet: \(G = \left\{ {\left( {r,r} \right),\left( {r,b} \right),\left( {b,r} \right),\left( {b,b} \right)} \right\}\)⇒ 1=C
- Jeder Ausdruck im Grundraum, also jede runde Klammer, ist ein mögliches Ergebnis vom Experiment. Anders ausgedrückt: Jede Teilmenge vom Grundraum ist ein Ereignis. ⇒ 2=II
Oder nach dem Ausschließungsprinzip: Das Experiment besteht aus 2 Ziehungen, weshalb das Ziehen einer einzigen Kugel kein Ergebnis vom Experiment sein kann. ⇒ (2 nicht I) und (2 nicht III)
Ergebnis
Ein Grundraum G für dieses Zufallsexperiment lautet \(G = \left\{ {\left( {r,r} \right),\left( {r,b} \right),\left( {b,r} \right),\left( {b,b} \right)} \right\}\) , und jede Teilmenge des Grundraumes ist ein Ereignis.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.