Aufgabe 1423
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gewinn beim Glücksrad
Das unten abgebildete Glücksrad ist in acht gleich große Sektoren unterteilt, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Für einmaliges Drehen des Glücksrades muss ein Einsatz von 5 € gezahlt werden. Die Gewinne, die ausbezahlt werden, wenn das Glücksrad im entsprechenden Sektor stehen bleibt, sind auf dem Glücksrad abgebildet.
Aufgabenstellung:
Das Glücksrad wird einmal gedreht. Berechnen Sie den entsprechenden Erwartungswert des Reingewinns G (in Euro) aus der Sicht des Betreibers des Glücksrades! Der Reingewinn ist die Differenz aus Einsatz und Auszahlungsbetrag.
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X, welche die diskreten Werte x1, x2, ..., xn mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x1), P(X=x2), ... P(X=xn) annimmt, errechnet sich aus der Summe der Produkte vom jeweiligen Wert xi und seiner Wahrscheinlichkeit P(X=xi).
\(E\left( X \right) = \mu = {x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right) + {x_2} \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) + ... + {x_n} \cdot P\left( {X = {x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right)} \)
Lösungsweg
Erstellen wir eine Tabelle:
Sektoren | Auszahlung durch Beteiber | Reingewinn für Spieler | |
0 € | 4 | 0 € | -5 € |
5 € | 2 | 5 € | 0 € |
10 € | 1 | 10 € | 5 € |
15 € | 1 | 15 € | 10 € |
Aus Sicht des Betreibers: Er kassiert zunächst den Spieleinsatz von 5€ und hat dann das Risiko der Auszahlungshöhe, je nachdem, in welchem der 8 Sektoren das Rad zum Stillstand kommt.
\(E(X) = 5 - \left( {0 \cdot \dfrac{4}{8} + 5 \cdot \dfrac{2}{8} + 10 \cdot \dfrac{1}{8} + 15 \cdot \dfrac{1}{8}} \right) = 5 - \left( {\dfrac{{0 + 10 + 10 + 15}}{8}} \right) = \dfrac{{40}}{8} - \dfrac{{35}}{8} = \dfrac{5}{8}\)
Nicht gefragt - aber machen wir die Gegenprobe aus Sicht von Spieler:
\(E\left( X \right) = - 5 \cdot \dfrac{4}{8} + 0 \cdot \dfrac{2}{8} + 5 \cdot \dfrac{1}{8} + 10 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{{ - 20 + 5 + 10}}{8} = - \dfrac{5}{8}\)
Das entspricht unserer Erwartung: Der Betreiber hat einen Erwartungswert von \(\dfrac{5}{8}\mbox{€}\) also einen Gewinn, der Spieler hat einen gleich großen, aber negativen Erwartungsert, also einen Verlust.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Betreiber darf einen Gewinn von \(\dfrac{5}{8}\mbox{€} \approx 0,63\mbox{€}\) erwarten.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit nicht angeführt sein muss.