Aufgabe 1304
AHS - 1_304 & Lehrstoff: WS 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ereignisse
In einer Schachtel befinden sich 3 rote Kugeln, 20 grüne Kugeln und 47 blaue Kugeln. Die Kugeln sind – abgesehen von ihrer Farbe – nicht unterscheidbar. Es werden nacheinander 3 Kugeln nach dem Zufallsprinzip entnommen, wobei diese nach jedem Zug wieder zurückgelegt werden.
Aufgabenstellung
Der Grundraum dieses Zufallsexperiments ist die Menge aller möglichen Farbtripel (x; y; z). x, y und z nehmen dabei die Buchstaben r, g oder b – entsprechend der Farbe der Kugeln – an. Für das Ereignis E gilt: Es werden keine blauen Kugeln gezogen. Geben Sie alle Elemente des Ereignisses E an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Ergebnismenge bzw. Ergebnisraum
\(\Omega = \left\{ {{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}\)
Die Ergebnismenge \(\Omega\) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse Ai eines Zufallsexperiments.
Ereignismenge bzw. Ereignisraum \(P\left( \Omega \right)\)
\(P\left( \Omega \right) = \left\{ {A\left| {A \subseteq \Omega } \right.} \right\}\)
Ereignismengen sind Teilmengen der Ergebnismenge.
Auf unsere Aufgabenstellung übertragen bedeutet dies: Die Ergebnismenge wäre die Menge aller möglichen Ergebnisse, dh wenn alle drei Farben gezogen werden. Laut Aufgabenstellung werden aber nur rote und grüne aber keine blauen Kugeln gezogen, daher ermitteln wir die entsprechende Ereignismenge, die eben nur eine Teilmenge der Ergebnismenge ist.
Lösungsweg
Bei dieser Aufgabenstellung geht es lediglich darum allle Elemente des Ereignisses aufzuzählen. Es geht nicht darum mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Ergebnisse auftreten, daher ist die Ereignismenge recht einfach anzuschreiben.:
Wir gehen strukturiert vor:
- 3 rote Kugeln: \(( r, r, r )\)
- 2 rote und 1 grüne Kugel: \(( r, r, g); ( r, g, r ); (g, r, r )\)
- 1 rote und 2 grüne Kugeln: \((g, g, r ); (g, r, g); ( r, g, g)\)
- 3 grüne Kugeln: (g, g, g)
\(E = { ( r, r, r ); ( r, r, g); ( r, g, r ); (g, r, r ); (g, g, r ); (g, r, g); ( r, g, g); (g, g, g) }\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(E = { ( r, r, r ); ( r, r, g); ( r, g, r ); (g, r, r ); (g, g, r ); (g, r, g); ( r, g, g); (g, g, g) }\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die Ereignismenge richtig angegeben ist.