Aufgabe 1527
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungs- und Stammfunktion
Es sei f eine Polynomfunktion und F eine ihrer Stammfunktionen.
- Aussage 1: Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt: \(f(x) = F(x) + c\,\,(c \in {\Bbb R})\).
- Aussage 2: Eine Funktion f′ heißt Ableitungsfunktion von f, wenn gilt: \(\int {f(x)dx} = f'(x)\).
- Aussage 3: Wenn die Funktion f an der Stelle x0 definiert ist, gibt \(f'({x_0})\) die Steigung der Tangente an den Graphen von f an dieser Stelle an.
- Aussage 4: Die Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden.
- Aussage:5: Wenn man die Stammfunktion F einmal integriert, dann erhält man die Funktion f.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir erinnern uns an die folgenden Definitionen:
Differentialquotient
\(f'({x_0}) = {\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \frac{{dy}}{{dx}}\)
Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate an. Er errechnet sich aus der 1. Ableitung \(f'\) der Funktion und bezeichnet die Steigung der Tangente. Grafisch lässt sich Differenzierbarkeit so deuten, dass an den Graphen der Funktion f(x) an jeder Stelle genau (!) eine Tangente existiert.
Stammfunktion
\(\eqalign{ & F'(x) = f(x) \cr & {\text{wobei}}:x \in {D_f} \cr}\)
Eine reelle Funktion F(x) heißt Stammfunktion der reellen Funktion f(x), wenn gilt: F´(x) = f(x); Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für f(x) heißt unbestimmtes Integrieren.
Unbestimmtes Integral
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\)
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Die Graphen aller Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung längs der y-Achse ineinander über.
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral, C heißt Integrationskonstante. Sprich: „Integral f von x dx“. dx ist ein Operator, der anzeigt, nach welcher Variablen zu integrieren ist.
Lösungsweg
- Aussage 1: Falsch, weil \(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\) und nicht \(f(x) = F(x) + c\,\,(c \in {\Bbb R})\)
- Aussage 2: Falsch, weil \(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\) und nicht \(\int {f(x)dx} = f'(x)\)
- Aussage 3: Richtig, weil das ist genau, was die Definition vom Differentialquotienten besagt. Die erste Ableitung gibt immer die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle x0
- Aussage 4: Richtig, weil wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x).
- Aussage 5: Falsch, weil man die Stammfunktion F(x) differenzieren - und nicht integrieren - muss um f(x) zu erhalten
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.