Aufgabe 1456
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reelle Funktion
Eine reelle Funktion f ist durch die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = 4 \cdot {x^3} - 2 \cdot {x^2} + 5 \cdot x - 2\) gegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion f′ der Funktion f an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Konstanten- oder Faktorregel
\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)
Exponentialfunktionen differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)
Summen- bzw. Differenzenregel
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)
Potenzen differenzieren
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {x^n} \cr & y' = f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Lösungsweg
Eine Polynomfunktion ist zu differenzieren:
\(f\left( x \right) = 4 \cdot {x^3} - 2 \cdot {x^2} + 5 \cdot x - 2\)
Gemäß den Regeln zum Differenzieren erhalten wir:
\(f'\left( x \right) = 4 \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} - 2 \cdot 2{x^{2 - 1}} + 5 = 12 \cdot {x^2} - 4x + 5\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 12 \cdot {x^2} - 4x + 5\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion f‘. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten.