Aufgabe 1175
AHS - 1_175 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchschnittsgeschwindigkeit
Ein Fahrzeug erreichte den 1. Messpunkt einer Abschnittskontrolle zur Geschwindigkeitsüberwachung (Section-Control) um 9:32:26 Uhr. Die Streckenlänge der Section-Control beträgt 10 km. Der 2. Messpunkt wurde um 9:38:21 Uhr durchfahren.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper bewegt: \(\overline v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\). Geschwindigkeit entspricht dem zurückgelegten Weg s im betrachteten Zeitintervall t.
Anmerkung (unwesentlich für den Rechenweg):
- Bei einer Radarbox wird die momentane Geschwindigkeit beim Vorbeifahren gemessen. Autofahrer neigen dazu, unmittelbar vor der Radarbox zu bremsen und unmittelbar nach der Radarbox wieder schneller zu werden...
- Bei einer Section-Control wird hingegen über eine längere Wegstrecke die Durchschnittsgeschwindigkeit gemessen. Die Vorteil dieser Messmethode ist, dass man über eine längere Strecke - in unserem Beispiel 10 km - im Durchschnitt die vorgegebene Geschwindigkeit nicht überschreiten darf. Der Nachteil: Man kann - ungesetzmäßiger Weise - die erlaubte Geschwindigkeit temporär sehr wohl überschreiten, ohne sofort die Section-Control auszulösen.
Achtung:
- Wir müssen hier mit Sekunden und Minuten rechnen. Das merkt man daran, dass die Stunden, Minuten und Sekunden durch „Doppelpunkt“ getrennt sind. Es handelt sich also nicht um ein „Hunderter-System“ sondern um ein „Sechziger-System“, denn 60 Sekunden entsprechen 1 Minute!
- Das SI System definiert die Basiseinheiten der Physik. In unserem Fall sind das Meter und Sekunde. Dh wir müssen die km und die Minuten entsprechend umrechnen
Lösungsweg
Wir sollen die Durchschnittsgeschwindigkeit errechnen: \(\overline v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\)
\(\eqalign{ & \Delta s = 10\,\,km = 10000m \cr & {t_1} = 9:32:26 \cr & {t_2} = 9:38:21 \cr & \Delta t = {t_2} - {t_1} = 9:38:21 - 9:32:26 = 5:55\,\,\,\,\,60er - System! \cr & \Delta t = 5 \cdot 60 + 55 = 355\sec \cr} \)
\(\overline v = \dfrac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \dfrac{{10000}}{{355}}\dfrac{m}{s} \approx 28,1690\dfrac{m}{s} \approx 28,1690 \cdot \dfrac{{3600}}{{1000}}\dfrac{{km}}{h} \approx 101,41\dfrac{{km}}{h}\)
Wichtig ist es den Weg in Meter und die Zeit in Sekunden einzugeben. Stichwort: SI-System.
Anmerkung: So haben wir von \(\dfrac{m}{s}\) auf \(\dfrac{{km}}{h}\) umgerechnet:
- Indem wir bei der Einheit im Zähler von m auf km gewechselt haben, haben wir mit 1000 multipliziert. Damit eine Äquivalenzumformung vorliegt, müssen wir den Nenner mit 1000 erweitern.
- Indem wir bei der Einheit im Nenner von s auf h gewechselt haben, haben wir mit 3600 multipliziert. Damit eine Äquivalenzumformung vorliegt, müssen wir den Zähler mit 3600 erweitern.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overline v \approx 28,2\dfrac{m}{s} \approx 101,4\dfrac{{km}}{h}\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [28; 29] bzw. [101; 102]
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die Lösung im Toleranzintervall liegt.