Aufgabe 4465
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Handyproduktion - Aufgabe B_517
Ein Unternehmen produziert die zwei Handymodelle H1 und H2. Dabei werden die beiden Mikrochip-Sorten M1 und M2 benötigt. Für die Produktion der Mikrochips werden unter anderem die Rohstoffe Silizium (R1) und Kupfer (R2) benötigt. Die nachstehende Tabelle, die der Matrix R entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Rohstoffen (in ME) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Mikrochip-Sorten.
M1 | M2 | |
R1 | 5 | 7 |
R2 | 1 | 2 |
Die nachstehende Tabelle, die der Matrix S entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Mikrochips (in Stück) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Handymodelle.
H1 | H2 | |
M1 | 5 | 1 |
M2 | 0 | 4 |
Teil b
Die Anzahlen der täglich produzierten Handys der Handymodelle H1 und H2 können durch den Vektor
\(\overrightarrow x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \end{array}} \right)\)
dargestellt werden. Die Preise pro ME für die Rohstoffe R1 und R2 können durch den Vektor
\(\overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} \\ {{p_2}} \end{array}} \right)\)
dargestellt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, was durch den Ausdruck \(S \cdot \overrightarrow x \) im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Zeilen- und die Spaltenanzahl der Matrix \({\overrightarrow p ^T} \cdot R \cdot S \cdot \overrightarrow x \)
- Zeilenanzahl:
- Spaltenanzahl:
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wenn man die Matrix S mit dem Vektor x multipliziert, dann erhält man …
… die Anzahl an Mikrochips M1 bzw. M2, die für die Produktion von x1 Handys vom Modell H1 und für die Produktion von x1 Handys vom Modell H1 benötigt werden.
Folgende Gleichung veranschaulicht die Zusammenhänge:
\(S \cdot \overrightarrow x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1\\ 0&4 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5 \cdot {x_1} + 1 \cdot {x_2}}\\ {0 \cdot {x_1} + 4 \cdot {x_2}} \end{array}} \right)\)
2. Teilaufgabe:
Wenn man in einer Matrix A die Zeilen und die Spalten vertauscht, so erhält man die transponierte oder gespiegelte oder gestürzte Matrix.
Die Benennung von Matrizen erfolgt gemäß „Anzahl Zeilen“ x „Anzahl Spalten“
\(\begin{array}{l} \overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}}\\ {{p_2}} \end{array}} \right) \to {\overrightarrow p ^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}}&{{p_2}} \end{array}} \right) \to 1 \times 2{\rm{ Matrix}}\\ R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7\\ 1&2 \end{array}} \right) \to 2 \times 2{\rm{ Matrix}}\\ S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1\\ 0&4 \end{array}} \right) \to 2 \times 2{\rm{ Matrix}}\\ \overrightarrow x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right) \to 2 \times 1{\rm{ Matrix}} \end{array}\)
Die Anzahl von Zeilen und Spalten nach einer Matrizenmultiplikation ergibt sich gemäß „Anzahl der Zeilen der 1. Matrix“ x „Anzahl der Spalten der 2. Matrix“
Nun führen wir die 3 Matrizenmultiplikationen der Reihe nach durch:
- (1x2-Matrix) mal (2x2-Matrix) liefert (1x2-Matrix)
- (1x2-Matrix) mal (2x2-Matrix) liefert (1x2-Matrix)
- (1x2-Matrix) mal (2x1-Matrix) liefert (1x1-Matrix)
→ Wir erhalten eine 1x1 Matrix, also ein Skalar.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Wenn man die Matrix S mit dem Vektor x multipliziert, dann erhält man die Anzahl an Mikrochips M1 bzw. M2, die für die Produktion von x1 Handys vom Modell H1 und für die Produktion von x1 Handys vom Modell H1 benötigt werden.
2. Teilaufgabe
Wir erhalten eine 1x1 Matrix.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Zeilen- und der Spaltenanzahl.