Aufgabe 4464
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Handyproduktion - Aufgabe B_517
Ein Unternehmen produziert die zwei Handymodelle H1 und H2. Dabei werden die beiden Mikrochip-Sorten M1 und M2 benötigt. Für die Produktion der Mikrochips werden unter anderem die Rohstoffe Silizium (R1) und Kupfer (R2) benötigt. Die nachstehende Tabelle, die der Matrix R entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Rohstoffen (in ME) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Mikrochip-Sorten.
M1 | M2 | |
R1 | 5 | 7 |
R2 | 1 | 2 |
Die nachstehende Tabelle, die der Matrix S entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Mikrochips (in Stück) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Handymodelle.
H1 | H2 | |
M1 | 5 | 1 |
M2 | 0 | 4 |
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie diejenige Matrix A, die den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung je eines Stücks der beiden Handymodelle beschreibt.
[0 / 1 P.]
Bei einer bestimmten Produktionsvariante wird die Matrix S durch eine Matrix
\({S_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1 \\ x&4 \end{array}} \right)\)
ersetzt, dass sich anstelle von A die neue Matrix
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {46}&{33} \\ {11}&9 \end{array}} \right)\)
ergibt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie x.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir schreiben die beiden Matrizen an.
- Die Matrix R gibt die Abhängigkeit der Zwischenprodukte – der beiden Microchip-Sorten - von den Rohstoffen an.
- Die Matrix S gibt die Abhängigkeit der beiden Endprodukte – der Handymodelle – von den Zwischenprodukten an.
\(\begin{array}{l} R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7\\ 1&2 \end{array}} \right)\\ S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1\\ 0&4 \end{array}} \right) \end{array}\)
Somit ergibt sich die Verflechtungsmatrix A, welche die Abhängigkeit der Endprodukte von den Rohstoffen angibt - ohne die Zwischenprodukte explizit auszuweisen - durch Matrizenmultiplikation wie folgt:
Die Rechenregel zur Matrizenmultiplikation lautet: „Zeile mal Spalte“. Die Rechenregel zur Matrizenmultiplikation lautet: „Zeile mal Spalte“.
Üben wir ein wenig Kopfrechnen:
\(\begin{array}{l} A = R \cdot S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7\\ 1&2 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1\\ 0&4 \end{array}} \right) = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5 \cdot 5 + 7 \cdot 0}&{5 \cdot 1 + 7 \cdot 4}\\ {1 \cdot 5 + 2 \cdot 0}&{1 \cdot 1 + 2 \cdot 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25}&{33}\\ 5&9 \end{array}} \right) \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Auch hier reicht ein wenig Kopfrechnen: Wir stellen zuerst die Gleichung mit den neuen Matrizen auf. Daraus erhalten wir komponentenweise 2 Gleichungen für die eine Variable x. Das ist ein überbestimmtes Gleichungssystem, aber da sich beide Male x=3 ergibt, hat alles seine Richtigkeit.
Die Rechenregel zur Matrizenmultiplikation lautet: „Zeile mal Spalte“.
\(\begin{array}{l} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {46}&{33}\\ {11}&9 \end{array}} \right) = R \cdot {S_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&7\\ 1&2 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1\\ x&4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5 \cdot 5 + 7 \cdot x}&{5 \cdot 1 + 7 \cdot 4}\\ {1 \cdot 5 + 2 \cdot x}&{1 \cdot 1 + 2 \cdot 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25 + 7x}&{33}\\ {5 + 2x}&9 \end{array}} \right)\\ \\ \\ 46 = 25 + 7x\,\,\,\,\, \to x = \dfrac{{46 - 25}}{7} = 3\\ 11 = 5 + 2x \to x = \dfrac{{11 - 5}}{2} = 3 \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25}&{33}\\ 5&9 \end{array}} \right)\)
2. Teilaufgabe
x=3
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Matrix A.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von x.