Aufgabe 4460
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Öffentlicher Verkehr in Wien - Aufgabe B_515
Teil d
In einer Straßenbahn befinden sich insgesamt n Fahrgäste, wovon s Fahrgäste keine gültige Fahrkarte besitzen. Eine Kontrollorin wählt nacheinander 2 Fahrgäste zufällig aus.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie im nachstehenden Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[0 / 1 P.]
Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass genau 1 der beiden kontrollierten Fahrgäste keine gültige Fahrkarte besitzt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der diese Wahrscheinlichkeit angibt.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(2 \cdot \dfrac{s}{n} \cdot \dfrac{{n - s}}{{n - 1}}\)
- Aussage 2: \(\dfrac{s}{n} \cdot \dfrac{{n - s}}{{n - 1}}\)
- Aussage 3: \(2 \cdot \dfrac{s}{n} \cdot \dfrac{{n - s}}{n}\)
- Aussage 4: \(\dfrac{s}{n} \cdot \dfrac{{n - s}}{n}\)
- Aussage 5: \(\dfrac{s}{n} \cdot \dfrac{{s - 1}}{{n - 1}}\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Für die Nenner von allen 4 Kästchen gilt, dass die Anzahl der möglichen Fahrgäste n-1 beträgt, da bereits 1 Fahrgast kontrolliert wurde.
- Zähler vom 1. Kästchen von rechts: Der 1. Fahrgast hatte eine gültige Fahrkarte, damit verringert sich die Anzahl der Fahrgäste mit gültiger Fahrkarte um 1 auf n-s-1
- Zähler vom 2. Kästchen von rechts: Der 1. Fahrgast hatte eine gültige Fahrkarte, daher gibt es nach wir vor s Fahrgäste, die keine gültige Fahrkarte besitzen
- Zähler vom 3. Kästchen von rechts: Der 1. Fahrgast hatte keine gültige Fahrkarte, daher gibt es nach wir vor n-s Fahrgäste, die eine gültige Fahrkarte besitzen
- Zähler vom 4. Kästchen von rechts: Der 1. Fahrgast hatte keine gültige Fahrkarte, daher gibt es s-1 Fahrgäste, die keine gültige Fahrkarte besitzen.
2. Teilaufgabe:
Es gibt 2 Wege im Baumdiagramm, wobei die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges zu multiplizieren sind:
- Der 1. Fahrgast hatte eine gültige Fahrkarte, der 2. Fahrgast hatte keine gültige Fahrkarte:
\(\dfrac{{n - s}}{n} \cdot \dfrac{s}{{n - 1}}\) - Der 1. Fahrgast hatte keine gültige Fahrkarte, der 2. Fahrgast hatte eine gültige Fahrkarte:
\(\dfrac{s}{n} \cdot \dfrac{{n - s}}{{n - 1}}\)
Diese beiden Wahrscheinlichkeiten sind zu addieren:
\(\eqalign{ & \left( {\dfrac{{n - s}}{n} \cdot \dfrac{s}{{n - 1}}} \right) + \left( {\dfrac{s}{n} \cdot \dfrac{{n - s}}{{n - 1}}} \right) = \cr & = \left( {\dfrac{{s \cdot \left( {n - s} \right)}}{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}} \right) + \left( {\dfrac{{s \cdot \left( {n - s} \right)}}{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}} \right) = \cr & = 2 \cdot \dfrac{{s \cdot \left( {n - s} \right)}}{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}} \cr} \)
Dieser Term entspricht der Aussage 1.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Wahrscheinlichkeiten.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.