Aufgabe 4455
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Porzellan - Aufgabe B_514
Ein Betrieb stellt Tassen und Vasen aus Porzellan her.
Teil a
Am Standort A des Betriebs gelten folgende Produktionseinschränkungen:
- Für die Produktion einer Tasse werden 0,2 kg Porzellanmasse benötigt.
- Für die Produktion einer Vase wird 1 kg Porzellanmasse benötigt.
- Insgesamt können maximal 80 kg Porzellanmasse verarbeitet werden.
- Es können maximal 300 Tassen und maximal 50 Vasen produziert werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie ein Ungleichungssystem, das die Produktionseinschränkungen für x Tassen und y Vasen beschreibt.
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2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Lösungsbereich dieses Ungleichungssystems ein.
[0 / 1 P.]
Jemand behauptet: „Wenn 90 kg Porzellanmasse verarbeitet werden, ist es möglich, 250 Tassen und 40 Vasen zu produzieren.“
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung richtig ist.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
1. Ungleichung:
- x Tassen erfordern \(0,2 \cdot x\) kg Porzellanmasse
- y Vasen erfordern \(1 \cdot y\) kg Porzellanmasse
- für x Tassen und y Vasen stehen maximal 80 kg Porzellanmasse zur Verfügung
\(0,2 \cdot x + 1 \cdot y \le 80\)
2. Ungleichung:
- Es können maximal 300 Tassen produziert werden.
\(x \le 300\)
3. Ungleichung:
- Es können maximal 50 Vasen produziert werden.
\(y \le 50\)
Hinzu kommen noch die sogenannten „Nicht-Negativitätsbedingungen“, da es keine negative Anzahl an Tassen oder Vasen geben kann:
- \(\begin{array}{l} x \ge 0\\ y \ge 0 \end{array}\)
Das gesuchte Ungleichungssystem lautet somit:
\(\begin{array}{l} 0,2 \cdot x + 1 \cdot y \le 80\,\\ x \le 300\\ y \le 50\\ \\ x \ge 0\\ y \ge 0 \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Die erste Ungleichung formen wir wie folgt in die Hauptform der Geradengleichung um:
\(\begin{array}{l} 0,2 \cdot x + 1 \cdot y \le 80\,\,\,\,\,\left| { - 0,2} \right. \cdot x\\ y \le - 0,2 \cdot x + 80 \end{array}\)
Wir bestimmen 2 einfach zu berechnende Punkte:
\(\begin{array}{l} x = 0 \to y = 80 \to \left( {0|80} \right)\\ x = 100 \to y = - 0,2 \cdot 100 + 80 = 60 \to \left( {100|60} \right) \end{array}\)
Mit Hilfe der beiden Punkte (0|80) und (100|60) können wir die fallende Begrenzungsgerade einzeichnen. Die 4 anderen Begrenzungsgeraden sind direkt ersichtlich:
\(\begin{array}{l} x = 300\\ x = 0\\ y = 50\\ y = 0 \end{array}\)
Die von diesen 5 Geraden umfasste Fläche entspricht dem Lösungsbereich des Ungleichungssystems.
3. Teilaufgabe:
Bei der 1. Ungleichung erhöht sich zufolge der Angabe der Wert rechts vom Ungleichheitszeichen von 80 auf 90. Das Ungleichungssystem lautet somit:
\(\begin{array}{l} 0,2 \cdot x + 1 \cdot y \le 90\,\\ x \le 300\\ y \le 50\\ \\ x \ge 0\\ y \ge 0 \end{array}\)
Wir setzen x=250 und y=40 ein:
\(\begin{array}{l} 0,2 \cdot 250 + 1 \cdot 40 = 90 \le 90\\ 250 \le 300\\ 40 \le 50\\ \\ 250 \ge 0\\ 40 \ge 0 \end{array}\)
Alle 5 Aussagen sind wahre Aussagen, somit ist die Behauptung richtig.
→ Mit 90 kg Porzellanmasse ist es möglich, 250 Tassen und 40 Vasen zu produzieren.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\begin{array}{l} 0,2 \cdot x + 1 \cdot y \le 80\,\\ x \le 300\\ y \le 50 \end{array}\)
2. Teilaufgabe
3. Teilaufgabe
Mit 90 kg Porzellanmasse ist es möglich, 250 Tassen und 40 Vasen zu produzieren.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Ungleichung I (Einschränkung bezüglich Porzellanmasse).
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Ungleichungen II und III (Einschränkung bezüglich der Maximalanzahl an Tassen und an Vasen).
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Lösungsbereichs.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.