Aufgabe 4022
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weinbau - Aufgabe B_412
Teil c
Der Wein wird mit einem manuellen Reihenfüller in Flaschen abgefüllt. Das Füllvolumen der Flaschen kann dabei als annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ angenommen werden. Es liegen 95 % der Füllvolumina in dem um μ symmetrischen Intervall von 995 Millilitern (ml) bis 1 015 ml.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Erwartungswert μ des Füllvolumens der Flaschen.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Standardabweichung σ.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
- μ .. Erwartungswert, bestimmt an welcher Stelle das Maximum der Normalverteilung auftritt.
- Unter der gaußschen Glockenkurve liegen 95% der Flaschen-Füll-Werte zwischen 995 und 1015 ml .
Auf Grund der Symmetrie wissen wir, dass der Erwartungswert genau in der Mitte zwischen 995 und 1015 ml liegt, womit wir ihn wie folgt berechnen können:
\(\mu = \dfrac{{995 + 1015}}{2} = 1005\)
→ Der Erwartungswert beträgt 1 005 ml.
Der Zusammenhang kann mit folgender Illustration veranschaulicht werden:
2. Teilaufgabe
Wir schreiben alle Angaben zusammen:
\(\begin{array}{l} X = 1015\\ \mu = 1005\\ P\left( { - z \le Z \le z} \right) = P\left( {995 \le Z \le 1015} \right) = 0,95 \end{array}\)
Bei um den Erwartungswert symmetrischen Intervallen gilt folgender Zusammenhang:
\(\begin{array}{l} P\left( { - z \le Z \le z} \right) = 2 \cdot \phi \left( z \right) - 1\\ 2 \cdot \phi \left( z \right) - 1 = 0,95\\ P\left( {X \le 1015} \right) = \phi \left( z \right) = \dfrac{{0,95 + 1}}{2} = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975 \to {\rm{Formelsammlung}} \to Z{\rm{ = 1}}{\rm{,96}} \end{array}\)
Wir können den Zusammenhang auch wie folgt veranschaulichen
Somit können wir die Standardabweichung wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} Z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\\ 1,96 = \dfrac{{1015 - 1005}}{\sigma }\\ \sigma = \dfrac{{1015 - 1005}}{{1,96}} = \dfrac{{10}}{{1,96}} = 5,10 \end{array}\)
→ Die Standardabweichung beträgt 5,1 ml.
Wir können den Zusammenhang auch wie folgt veranschaulichen
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Erwartungswert beträgt 1 005 ml.
2. Teilaufgabe
Die Standardabweichung beträgt 5,1 ml.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B1: Für die richtige Berechnung des Erwartungswerts (KA)
2. Teilaufgabe
1 × B2: Für die richtige Berechnung der Standardabweichung (KB)