Aufgabe 4306
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Batterien
Ein Unternehmen produziert Batterien.
Teil c
Das Unternehmen gibt an, dass die Lebensdauer der Batterien annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5320 Betriebsstunden und der Standardabweichung σ = 156 Betriebsstunden ist.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie dasjenige symmetrische Intervall um μ, in dem die Lebensdauer einer zufällig ausgewählten Batterie mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion dieser Normalverteilung dargestellt.
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Batterie eine Lebensdauer von maximal 5200 Betriebsstunden hat.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir fassen die Angabe wie folgt zusammen:
- Normalverteilung
- μ = 5320
- σ = 156
- p=0,9
Die Lösung erfolgt mittels Technologieeinsatzes:
- Die Fläche unter der Normalverteilung innerhalb vom betrachteten symmetrischen Intervall, also zwischen der unteren und der oberen Grenze soll 0,9 betragen.
- Somit bleibt für die Fläche links von der unteren Grenze 0,05
- Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[5320, 156, 0.05] ⇒ x1 = 5063,4
- Somit bleibt für die Fläche rechts von der oberen Grenze 0,95
- Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[5320, 156, 0.95] ⇒ x1 = 5576,6
→ Das symmetrische Intervall für eine Normalverteilung mit μ = 5320, σ = 156, p=0,9 lautet somit: [5063,4; 5576,6]
2. Teilaufgabe:
Die zufällig ausgewählte Batterie hat eine Lebensdauer von maximal bzw. höchstens 5200 Betriebsstunden. Somit müssen wir den Bereich links von 5200 markieren:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Das symmetrische Intervall für eine Normalverteilung mit μ = 5320, σ = 156, p=0,9 lautet: [5063,4; 5576,6]
2. Teilaufgabe:
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung des Intervalls (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit (KA)