Aufgabe 4306

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Batterien

Ein Unternehmen produziert Batterien.

Teil c

Das Unternehmen gibt an, dass die Lebensdauer der Batterien annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5320 Betriebsstunden und der Standardabweichung σ = 156 Betriebsstunden ist.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie dasjenige symmetrische Intervall um μ, in dem die Lebensdauer einer zufällig ausgewählten Batterie mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion dieser Normalverteilung dargestellt.

beispiel_4306_1

Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Batterie eine Lebensdauer von maximal 5200 Betriebsstunden hat.

[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Wir fassen die Angabe wie folgt zusammen:

  • Normalverteilung
  • μ = 5320
  • σ = 156
  • p=0,9

Die Lösung erfolgt mittels Technologieeinsatzes:

  • Die Fläche unter der Normalverteilung innerhalb vom betrachteten symmetrischen Intervall, also zwischen der unteren und der oberen Grenze soll 0,9 betragen.
  • Somit bleibt für die Fläche links von der unteren Grenze 0,05
    • Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
    • Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[5320, 156, 0.05] ⇒ x1 = 5063,4
  • Somit bleibt für die Fläche rechts von der oberen Grenze 0,95
    • Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
    • Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[5320, 156, 0.95] ⇒ x1 = 5576,6

 

→ Das symmetrische Intervall für eine Normalverteilung mit μ = 5320, σ = 156, p=0,9 lautet somit: [5063,4;  5576,6]

2. Teilaufgabe:

Die zufällig ausgewählte Batterie hat eine Lebensdauer von maximal bzw. höchstens 5200 Betriebsstunden. Somit müssen wir den Bereich links von 5200 markieren:

beispiel_4306_2

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe:

Das symmetrische Intervall für eine Normalverteilung mit μ = 5320, σ = 156, p=0,9 lautet: [5063,4;  5576,6]

2. Teilaufgabe:

beispiel_4306_2

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung des Intervalls (KA)

2. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit (KA)