Aufgabe 4235
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fahrscheine - Aufgabe A_133
Teil a
Im Jahr 2016 wurden von den Wiener Linien insgesamt 954,2 Millionen Fahrgäste transportiert. Bei 6,6 Millionen Fahrgästen wurden die Fahrscheine kontrolliert. 1,7 % dieser 6,6 Millionen Fahrgäste hatten keinen gültigen Fahrschein.
Das unten stehende Baumdiagramm soll den obigen Zusammenhang veranschaulichen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in diesem Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fahrgast kontrolliert wird und keinen gültigen Fahrschein hat. [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Baumdiagramme unterstützen visuell bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Ein Baumdiagramm besteht aus Knoten und Zweigen. Ein Pfad startet bei einem Knoten, verläuft über einen oder mehrere Zweige und endet in einem Knoten.
- Neben jeden Zweig schreibt man die Wahrscheinlichkeit, mit der das vom Zweig repräsentierte Zufallsereignis eintritt. Man nennt dies die Zweigwahrscheinlichkeit.
- Die Wahrscheinlichkeit aller Zweige, die von einem Knoten weglaufen, addieren sich immer zu 1.
- Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades berechnet sich aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige des Pfades.
Wir rechnen zuerst den Prozentsatz der kontrollierten Fahrgäste aus. Wir schreiben den Satz: "954,2 verhält sich zu 100% so wie 6,6 zu x%" als Proportionalitätsverhältnis wie folgt an:
\(\eqalign{ & \frac{{954,2}}{{100}} = \frac{{6,6}}{x} \cr & x = \frac{{6,6 \cdot 100}}{{954,2}} \approx 0,69\% \cr} \)
- In's 1. Kästchen kommt also 0,69%.
- In's 2. Kästchen kommt 100-0,69=99,31%
Wenn 1,7% der kontrollierten Fahrgäste keinen Fahrschein haben, dann haben 100-1,7=98,3% der Fahrgäste einen Fahrschein
- In's 4. Kästchen kommt also 1,7%
- In's 3. Kästchen kommt also 98,3%
2. Teilaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades berechnet sich aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige des Pfades.
\(P\left( {{\text{kontrolliert und kein Fahrschein}}} \right) \approx 0,069 \cdot 0,017 \approx 0,00011 \buildrel \wedge \over = 0,01\% \)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fahrgast kontrolliert wird und keinen gültigen Fahrschein hat, beträgt rund 0,01 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fahrgast kontrolliert wird und keinen gültigen Fahrschein hat, beträgt rund 0,01 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 x A: für das richtige Eintragen der Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
2. Teilaufgabe
1 x B: für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit