Aufgabe 1026
AHS - 1_026 & Lehrstoff: WS 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilung
- Aussage 1: In der Kantine eines Betriebs essen 80 Personen. Am Montag werden ein vegetarisches Gericht und drei weitere Menüs angeboten. Erfahrungsgemäß wählt jede vierte Person das vegetarische Gericht. Es werden 20 vegetarische Gerichte vorbereitet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese nicht ausreichen?
- Aussage 2: Bei einer Lieferung von 20 Mobiltelefonen sind fünf defekt. Es werden drei Geräte gleichzeitig entnommen und getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens zwei davon defekt?
- Aussage 3: In einer Klasse müssen die Schüler/innen bei der Überprüfung der Bildungsstandards auf einem anonymen Fragebogen ihr Geschlecht (m, w) ankreuzen. Die Wahrscheinlichkeit, das Ankreuzen des Geschlechts nicht durchzuführen, ist für Buben und Mädchen gleich. In der Klasse sind 16 Schülerinnen und 12 Schüler. Fünf Personen haben auf dem Fragebogen das Geschlecht nicht angekreuzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich drei Schüler unter den fünf Personen?
- Aussage 4: Ein Großhändler erhält eine Lieferung von 2 000 Mobiltelefonen, von denen erfahrungsgemäß 5 % defekt sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich 80 bis 90 defekte Geräte in der Lieferung?
- Aussage 5: In einer Klinik werden 500 kranke Personen mit einem bestimmten Medikament behandelt. Die Wahrscheinlichkeit, dass schwere Nebenwirkungen auftreten, beträgt 0,001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei mehr als zwei Personen schwere Nebenwirkungen auftreten?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige(n) Situation(en) an, die mithilfe der Binomialverteilung modelliert werden kann/können!
Lösungsweg
Wir sollen herausfinden, welche der 5 Situationen mit einer Binomialverteilung modelliert werden können.
- Aussage 1: Richtig, weil
- es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: vegetarisch / nicht vegetarisch
- n=80, weil es um 80 Personen geht
- p=1/4, weil jede der 80 Personen zu 25% ein vegetarisches Gericht wählt, unabhängig davon was die anderen Personen wählen
- "nicht ausreichen" bedeutet dass mehr als 20 Personen vegetarisch essen, das bedeutet k=21, .. 80
- Aussage 2: Falsch, weil
- die Wahrscheinlichkeit dafür ein defektes Phone zu ziehen davon abhängt, ob man davor schon ein defektes Phone gezogen hat. Da man "nicht zurücklegt" ist im Einzelfall die Wahrscheinlichkeit von der Vorgeschichte abhängig
- die Grundgesamtheit vermindert sich bei jeder Wiederholung. Es handelt sich um eine hypergeometrische Verteilung
- Aussage 3: Falsch, weil
- die Wahrscheinlichkeit dafür dass der 1. SchülerIn der nicht angekreuzt hat ein Bub ist beträgt 12/28,
- die Wahrscheinlichkeit dafür dass der 2. SchülerIn der nicht angekreuzt hat wieder ein Bub ist beträgt 11/27
- die Grundgesamtheit vermindert sich bei jeder Wiederholung. Es handelt sich um eine hypergeometrische Verteilung
- Aussage 4: Richtig, weil
- es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: defekt / nicht defekt
- n=2000, weil es um 2000 Telefone geht
- p=0,02, weil jedes der 2000 Telefone zu 5% defekt ist, unabhängig davon ob ein anderes Telefon defekt ist
- Aussage 5: Richtig, weil
- es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: krank / nicht krank
- n=500, weil es um 500 Personen geht
- p=0,001, weil bei jede der 500 Personen Nebenwirkungen auftreten können, unabhängig davon ob bei einer anderen Person Nebenwirkungen aufgetreten sind
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.