Aufgabe 1030
AHS - 1_030 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen zum Integral
Nachstehend werden Aussagen zu Funktionen und deren Stammfunktionen angeführt.
- Aussage 1: Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
- Aussage 2: Die Stammfunktion einer Summe von zwei Funktionen f und g ist (abgesehen von Integrationskonstanten) gleich der Summe der Stammfunktionen von f und g
- Aussage 3: f ist immer eine Stammfunktion von f'.
- Aussage 4: Wenn \(\dfrac{{dF\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right)\), dann ist F eine Stammfunktion von f.
- Aussage 5: Für beliebige Funktionen f und g gilt: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {f\left( x \right)} \,\,dx \cdot \int {g\left( x \right)} \,\,dx\)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Wir wenden die weiter unten angeführten Regeln für das Integrieren an:
- Aussage 1: Richtig, weil sie dem "Hauptsatz der Integralrechnung" darstellt.
- Aussage 2: Richtig, weil sie die "Summenregel für das Differenzieren" darstellt
- Aussage 3: Richtig, weil \(\int {f'\left( x \right)} \,\,\,\,dx = f\left( x \right) + C\)
- Aussage 4: Richtig, weil \(F'\left( x \right) = \dfrac{{dF\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right)\)
- Aussage 5: Falsch, weil es beim Integrieren - im Gegensatz zum Differenzieren - keine Produktregel gibt.
Hauptsatz der Integralrechnung:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = \left. {\left[ {F\left( x \right)} \right]} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right);\)
wobei:
- F(x) ist die Stammfunktion von f(x).
- f(x) ist die Ableitung von F(x).
Summen- und Differenzenregel:
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \cr & = \int {f\left( x \right)\,\,dx} \pm \int {g\left( x \right)\,\,dx} \cr}\)
Das Integral der Summe / der Differenz zweier Funktionen f(x), g(x) ist gleich der Summe / der Differenz der jeweiligen Integrale. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.
Stammfunktion und unbestimmtes Integral:
\(F'\left( x \right) = \dfrac{{dF\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right)\)
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\) bzw. \(\int {f'\left( x \right)} \,\,\,\,dx = f\left( x \right) + C\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn genau die vier zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.